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Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 12

Considere a equação 𝑥 − 5 𝑒 − 𝑥 = 0 . Obtenha a raiz positiva com quatro casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método das secantes é 𝑝 ≈ 1.6818   .  

Passo 1

Opa, meu colega! Tudo bem?? Esse exercício é bem tranquilo. Vamos aplicar o método das secantes para achar a raiz aproximada da função fornecida no enunciado. Lembre-se que precisamos achar o intervalo em que a raiz se encontra, considerando 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0 .

Passo 2

Chutando o intervalo 1.4 ,   1.5 :

𝑓 1.4 = 1.4 − 5 𝑒 − 1.4 = − 0.0497689   <   0

𝑓 1.5 = 1.5 − 5 𝑒 − 1.5 = 0.109094   >   0

Achamos o intervalo! Agora só precisamos usar o método das secantes para fazer as iterações.

Passo 3

Considerando:

𝑥 0   =   1.4    

𝑥 1   =   1.5    

𝑥 𝑘 + 1 = 𝑥 𝑘 × 𝑓 𝑥 𝑘 − 1 − 𝑥 𝑘 − 1 × 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 𝑘 − 𝑓 𝑥 𝑘 − 1

Obteremos:

𝑥 2 = 1.5 × − 0.0497689   −   1.4 × 0.109094 0.109094 − − 0.0497689 = 1.4313328

Calculando 𝑓 1.43133

para utilizar na próxima iteração:

𝑓 1.43133   =   1.43133 − 5 𝑒 − 1.43133 = 0.00142778   > 0

𝑥 3 = 1.43133 × 0.109094   −   1.5 × 0.00142778 0.00142778 − 0.109094 = 1.430419

Já chegamos em 4 casas decimais. Para verificar tal afirmação, sugere-se que você calcule a iteração 𝑥 4 . Você tem que encontrar 1.430445   como resultado. Se quiser ir mais adiante considere 𝑥 5   =   1.43044509   .

Passo 4

Para finalizar vamos utilizar a seguinte equação para verificar a ordem de convergência do método das secantes:

𝑝   ≈ l o g l o g   𝑒 𝑘 + 1 𝑒 𝑘   l o g l o g   𝑒 𝑘 𝑒 𝑘 − 1  

Calculando o erro em x4 , x3 e x5 obteremos:

𝑒 𝑥 3 = 𝑥 3 − 𝑥 2 =   1.4304 − 1.43133 = 0.00093

𝑒 𝑥 4 = 𝑥 4 − 𝑥 3 =   1.430445 − 1.430419 = 0.000026

𝑒 𝑥 5 = 𝑥 5 − 𝑥 4 =   1.43044509 − 1.430445 = 0.00000009

Substituindo:

𝑝 ≈ l o g l o g   0.00000009 0.000026   l o g l o g   0.000026 0.00093   ≈ 1.58398

Com mais iterações, chegaríamos no valor estipulado pelo exercício, portanto, confirmamos que a ordem de convergência do método é aproximadamente 1.618   .

Resposta

Raiz aproximada 𝑥 _   =   1.43044509 ordem de convergência ≈   1.618   .

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