Seja 𝑣 = 2,3 , 4 𝑡 na base canônica, isto é, na base:

1,0 , 0 𝑡 , 0,1 , 0 𝑡 , 0,0 , 1 𝑡

.

Calcular as coordenadas de 𝑣   na base:

1,1 , 1 , 1,1 , 0 , 1,0 , 0

Passo 1

Opa, coleguinha! Tudo tranquilo? Vamos iniciar com um exercício de mudança de base vetorial. Para resolver, iremos escrever o vetor 𝑣   como combinação linear da base fornecida e, assim, através de um sisteminha linear, vamos encontrar as coordenadas do mesmo na base fornecida.

Passo 2

Montando a combinação linear de 𝑣   com a base. Lembre-se que devemos multiplicar cada vetor da base por uma variável (que irei chamar de x, y e z) e igualar ao vetor na base canônica (que já foi fornecido pelo enunciado):

2,3 , 4 = 𝑥 1,1 , 1 + 𝑦 1,1 , 0 + 𝑧 1,0 , 0

Realizando as multiplicações:

2,3 , 4 = 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 + 𝑦 , 𝑦 , 0 + 𝑧 , 0,0

Por fim devemos somar cada componente (componente x com componente x, y com y e z com z):

2,3 , 4 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ,   𝑥 + 𝑦 + 0 ,   𝑥 + 0 + 0

Passo 3

Com isso, agora devemos montar o sistema linear e encontrar o valor de x, y e z:

x + y + z   =   2

x + y + 0 = 3

x + 0 + 0 = 4

Resolvendo o sistema chegamos em x = 4 ,   y = - 1 ,   z = - 1 Colocando no vetor teremos:

v = ( 4 , - 1 , - 1 )

Terminamos! Até mais!

Resposta

v = ( 4 , - 1 , - 1 ) .

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