Enunciado
Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 3
Seja um sistema em aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números: , e
Efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados:
- x+y+z
- x-y-z
Passo 1
letra a:
A primeira coisa que a gente faz na adição da aritmética de ponto flutuante é alinhar os pontos decimais de todos os números envolvidos na operação.
Existem duas operações, então faremos na ordem dada!
Alinhando fica assim:
Arredondando, fica assim:
Agora vamos fazer o resto da operação, já vamos alinhar os pontos decimais também:
Arredondando, fica assim:
Para calcular o erro, nós temos que pensar como se fossemos a máquina.
Se a máquina soubesse o valor exato dessa soma, ela não usaria o valor aproximado, então a máquina nunca vai saber o erro exato de arredondamento!
O que podemos fazer é estimar um erro máximo para a operação.
Repare que o erro relativo numa soma é dado dessa forma:
Como os números são representados com exatidão, , logo:
Mas agora precisamos somar com , então o erro vai ser dado assim:
Como, :
Mas a gente sabe que , logo:
Passo 2
letra b:
A primeira coisa que a gente faz na em operações de aritmética de ponto flutuante é alinhar os pontos decimais de todos os números envolvidos na operação.
Existem duas operações, então faremos na ordem dada!
Alinhando fica assim:
Arredondando, fica assim:
Agora vamos fazer o resto da operação, já vamos alinhar os pontos decimais também:
Arredondando, fica assim:
Para calcular o erro, nós temos que pensar como se fossemos a máquina.
Se a máquina soubesse o valor exato dessa soma, ela não usaria o valor aproximado, então a máquina nunca vai saber o erro exato de arredondamento!
O que podemos fazer é estimar um erro máximo para a operação.
Repare que o erro relativo numa subtração é dado dessa forma:
Como os números são representados com exatidão, , logo:
Mas agora precisamos somar com , então o erro vai ser dado assim:
Como, :
Mas a gente sabe que , logo:
Passo 3
letra c:
A primeira coisa que a gente faz na adição da aritmética de ponto flutuante é alinhar os pontos decimais de todos os números envolvidos na operação.
Como só tem uma operação, começaremos por ela!
Alinhando fica assim:
Arredondando, fica assim:
Para calcular o erro, nós temos que pensar como se fossemos a máquina.
Se a máquina soubesse o valor exato dessa soma, ela não usaria o valor aproximado, então a máquina nunca vai saber o erro exato de arredondamento!
O que podemos fazer é estimar um erro máximo para a operação.
Repare que o erro relativo numa divisão é dado dessa forma:
Como os números são representados com exatidão, , logo:
Mas a gente sabe que , logo:
Passo 4
letra d:
A primeira coisa que a gente faz em operações de aritmética de ponto flutuante é alinhar os pontos decimais de todos os números envolvidos na operação.
Existem duas operações, então faremos na ordem dada!
Alinhando fica assim:
Arredondando, fica assim:
Agora vamos fazer o resto da operação, já vamos alinhar os pontos decimais também:
Arredondando, fica assim:
Para calcular o erro, nós temos que pensar como se fossemos a máquina.
Se a máquina soubesse o valor exato dessa soma, ela não usaria o valor aproximado, então a máquina nunca vai saber o erro exato de arredondamento!
O que podemos fazer é estimar um erro máximo para a operação.
Repare que o erro relativo numa multiplicação é dado dessa forma:
Repare também que o erro relativo numa divisão é dado dessa forma:
Como os números são representados com exatidão, , logo:
Mas agora precisamos dividir por , então o erro vai ser dado assim:
Então:
Mas a gente sabe que , logo:
Passo 5
letra e:
A primeira coisa que a gente faz em operações de aritmética de ponto flutuante é alinhar os pontos decimais de todos os números envolvidos na operação.
Existem duas operações, então faremos na ordem dada!
Alinhando fica assim:
Arredondando, fica assim:
Agora vamos fazer o resto da operação, já vamos alinhar os pontos decimais também:
Arredondando, fica assim:
Para calcular o erro, nós temos que pensar como se fossemos a máquina.
Se a máquina soubesse o valor exato dessa soma, ela não usaria o valor aproximado, então a máquina nunca vai saber o erro exato de arredondamento!
O que podemos fazer é estimar um erro máximo para a operação.
Repare que o erro relativo numa multiplicação é dado dessa forma:
Repare também que o erro relativo numa divisão é dado dessa forma:
Como os números são representados com exatidão, , logo:
Mas agora precisamos dividir por , então o erro vai ser dado assim:
Então:
Mas a gente sabe que , logo:
Repare também que o resultado da letra d e da letra e são diferentes, apesar do erro máximo ser o mesmo!
Isso é comum em operações de aritmética de ponto flutuante, já que as operações não são associativas, ou seja, a ordem de solução pode mudar o resultado final.