Derivada da Função Inversa

Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da inversa.

Ora, se , sabemos que . O cara nos disse que a inversa de é a função , que será igual, portanto, a . Assim:

Se é a inversa de , nós temos que:

Queremos quando , portanto:

Do enunciado, temos que :

Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

A derivada da inversa de uma função é dada da seguinte maneira:

Se é a inversa de , teremos:

Como vale, pela função dada:

vemos que para sua inversa valerá que . Então, pode ser calculado da seguinte maneira:

Sendo o ponto coordenado .

Vamos derivar para achar o :

Assim,

Para sabermos se a função é inversível vamos usar o Teorema da Função Inversa.

É só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de

E vamos ter que essa derivada só vai ser em

Como esse valor não está incluído no domínio (pois ele diz que ) ela sempre vai ser diferente de . Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o com o e achar o novo , assim

Nos temos

Vamos isolar o

Devemos fazer alguma coisa para chegar em sozinho. Vamos fazer um negócio chamado completar quadrado. Concorda que:

certo? Então, se eu somar um de cada lado, fica assim:

Vamos ter com isso

Como ele disse que devemos ter esse cara com sinal de na raiz, já que a raiz gera um termo positivo e , onde é positivo, será menor que

Essa é a nossa função inversa

Podemos mudar agora esse por na resposta final, só para deixar bonitinho com uma função inversa de

Vamos aplicar o teorema da função inversa

Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de

Ele quer isso nos diz que vamos achar o valor de para isso

Usamos Bhaskara:

Como o valor de , vamos ter

Agora que sabemos o valor de podemos aplicar o teorema da função inversa

Vamos ter

A derivada de vai ser

Para sabermos se a função é inversível é só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de . Para , vale:

Nessa situação, a derivada vale:

Repara que a função tem derivada para todo . Significa que ela é sempre decrescente nessa faixa do domínio. Com isso, ela sempre vai ser diferente de 0. Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

A função vai ser inversível para .

Para determinar temos que procurar quando a função valerá

Isso pode acontecer em duas regiões: e

Não faz muito sentido olhar para esse segundo caso se não conhecemos o valor de . Então vamos focar em achar um que gere:

Na malandragem, eu fui usando alguns valores de bons de mexer, como e . Como a função é decrescente em toda essa região, como vimos na letra , se acharmos um que satisfaça esse será o único valor possível para solucionar a questão.

Por tentativa, descobriremos :

Logo,

Pelo derivada da Inversa, teremos:

Derivamos , fica assim:

Usando ficará:

Logo,

Para a função ser inversível para todo real, ela deve ser inversível nos seus dois domínios: para e para . Já provamos na que isso vale para . Vamos olhar o outro domínio.

A função aqui é

Para que seja inversível em todo o domínio precisamos ter . Nessa região a derivada é dada por:

Rapaz, repara, posso chutar qualquer valor de ali nesse cara, mas eu vou ter sempre essa derivada zerando em . No resto domínio, ela manterá o mesmo sinal de , sempre para .

Agora, em supondo algum valor de que faça da função contínua, poderíamos fazer as derivadas laterais e igualá-las:

Não importa o lado, em ambas zeram.

Enfim, a conclusão é que nenhum satisfaz isso!

Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

Aqui vamos usar algumas regras de derivação, primeiro a regra do quociente

Precisamos achar essas derivadas

Vamos começar por

Bom, temos que sua derivada será dada por:

Se

Logo, teremos

Que ficará assim:

Vamos para

Usamos a Regra da Cadeia para chegar nisso:

Recapitulando, temos

E acabamos de calcular

Substituindo isso na equação que está ali no inicio desse passo

Ficou feio, eu sei. Mas no próximo item, vamos dar nomes aos bois!

Ele quer a derivada em um ponto, no caso

Vamos pegar a fórmula que achamos no fim do passo e trocar por .

Usando os dados do enunciado, temos:

, , , , e .

Agora eu te pergunto, por que ele deu o valor de , se estamos interessados no ponto

Ele deu esse ponto, por que nele a função assume o valor 0! Com isso, a sua função inversa no ponto 0, vai ser o valor do ponto em que a função que deu 0. Fica assim, ó:

Sabemos também que

(Um macete aqui, é que a função e no ponto 0, assume os mesmos valores que as funções e , no ponto 0).

Substituindo isso tudo, teremos:

A primeira coisa é tentar aplicar o Teorema da Função Inversa. Pra isso vamos derivar a função:

Igualando a zero:

Então temos ou:

O que é impossível!! Isso porque .

Ok, então o único ponto onde deu problema foi mesmo. Então garantimos que é invertível em ou em .

Mas ele quer o maior intervalo possível, vamos ver se temos a função inversível no

Agora resta testar se é bijetora. Se for o caso, ela será invertível em todo o .

Vamos dar uma olhada nessa função:

Hmm... Reparou alguma coisa?

Nenhum dos termos que aparece nessa função pode ser negativo! Temos que:

Opa! Isso significa que a imagem de não inclui os números negativos (nem o zero, aliás), portanto não é sobrejetora não é bijetora em todo o . Desta forma, considerando o intervalo como sendo o domínio da função, percebemos que f é bijetora neste domínio.

Essa é uma possível resposta então, se preferir, pode falar que o maior intervalo é o de pois aqui também a função é Bijetora.

PORÉM CUIDADO! A resposta é um ou outro, você quem escolhe, mas não pode ser os dois ao mesmo tempo, heim!