Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas
Teoria
As funções inversas trigonométricas são:
Vamos calcular a derivada da função arco seno, que é a inversa do seno. Repare que podemos escrever:
Então para resolver essa derivada vamos achar a derivada do seno
Pera, mas ali tem um . A nossa derivada precisa ter o .
Calma, aqui temos que escrever aquele cosseno em função de . Como?
Lembra que ?
Se eu trocar por , vamos ter
Então:
E essa é a forma de achar sempre essas derivadas de inversas trigonométricas.
Agora é só gravar as derivadas de , e e as outras (que são menos recorrentes, mas podem aparecer). Mas, lembre-se sempre que você pode chegar a elas através dessa análise da derivada inversa:
Às vezes, você pode encontrar os arcos com índice
É a mesma coisa. Só não os confunda com o inverso da função:
Vai fazer exercício agora, Jovis!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
CEFET - Cálculo 1 - P1 Romulo 2014.2 – 3
Calcule a derivada de .
Use a informação da questão anterior para mostrar que
Passo 1
Bom, essa é uma derivada conhecida. Ela vai ser
Passo 2
Vamos pela derivada do inverso de uma função:
Sabendo que se , então:
Escrevi como se e , ok? Bom, vamos escrever como ficaria a princípio:
Passo 3
Certo, e pela definição que eu dei ali em cima tenho isso aqui:
Bom, nesse caso, como eu escrevo o em função de ? Eu faço em função da , que é igual a . Tem essa identidade trigonométrica aqui para ajudar:
Traz para a derivada então, um abraço:
Provado!
Resposta
a)
Exercício Resolvido #2
UFF - Cálculo IA - P2 Javier 2013.2 – 4 a
Considere a função invertível .
Calcule
Passo 1
Sabemos que
Então vamos precisar encontrar e .
E quando teremos , ou seja, ?
Logo, queremos:
Passo 2
Calculando
Passo 3
Aplicando a derivada da função inversa.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Encontre a derivada da função abaixo:
Passo 1
Certo, para chegar nessa derivada a gente vai ter que aplicar a Regra da Cadeia. Eu precisaria, então, derivar de fora pra dentro, como na definição, onde haveriam duas funções dadas por e por . Ficaria, aplicando a Regra, assim:
Ok, derivando a função de fora, , ficaria assim:
Agora basta encontrar aquela última derivada ali
Passo 2
Beleza, precisamos pensar então na derivada de . Concorda que, em se tratando de uma função dentro de outra bastaria aplicar a Regra da Cadeia assim:
Pois façamos isso, lembrando que a derivada da cotangente é
Passo 3
De volta à questão, basta que juntemos o que achamos no Passo 2 ao Passo 3:
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 10 – 28
Verifique a igualdade
Passo 1
Aqui, precisamos usar a Regra da cadeia com a função arco tangente e o quociente de dentro:
Onde queremos:
Passo 2
Derivando :
Agora :
Passo 3
Reunindo o que achamos lá na Regra da Cadeia:
De onde concluímos que:
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFF - Cálculo IA - P2 Marlene 2013.2 – 2 b
Calcule o que se pede:
Seja , onde a função é diferenciável. Calcule se conhecemos a informações: ; ; .
Passo 1
De novo é aplicar direto as regras que aprendemos na teoria. E lembre-se a derivada de da coisa é da coisa vezes a derivada da coisa. Nesse caso a coisa é .
Passo 2
A derivada da arcontangente precisar estar na cabeça. Se fizermos
Passo 3
Derivando em função de .
é um quociente, então não tem outro caminho vamos usar a regra do quociente para derivar ele.
Passo 4
Colocando todo mundo no lugar
Passo 5
Aplicando no ponto
Aqui vale a pena lembrar um pequeno detalhe da função arco tangente. Se olharmos aquele arco tangente que temos ali, é o mesmo que saber qual ângulo tem tangente igual a , podemos ter
Mas qual dos dois valores vamos usar? Na verdade a definição de arco tangente nos diz que o arco tangente vai de até , então aquele segundo valor, por mais que ele tenha tangente igual a ele não entra no domínio da função arcotangente. Então