Existência, Unicidade e Solução por Inspeção
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Cara antes de começarmos a falar qualquer coisa sobre solução de EDO precisamos garantir se essa solução existe. Se não existir vai ser igual caçar um unicórnio, nunca vamos conseguir. Outro ponto importante é saber se uma dada solução é única. Para garantirmos essas coisas existe um teorema muito importante.
Mas antes de enunciarmos o teorema, vamos definir uma coisa muito importante: a forma de escrever a EDO. Na hora de fazer exercícios vocês vão perceber que as equações podem vir em diversas formas. Para utilizar o teorema, temos que as escrever no formato especifico abaixo.
O que o formato acima quer dizer pra gente é que temos que colocar a derivada de um lado da equação e jogar todo o resto pro outro e esse outro lado nós chamaremos de uma função .
Vamos ao teorema agora
Teorema da Existencia e Unicidade
Garantir existência e unicidade significa garantir que a solução existe e ela é única. Para garantirmos isso existe um teorema que resumimos aqui nesse passo a passo
- Isolar a derivada na forma que te mostrei acima
- Identificar e calcular
- Verificar onde as funções calculadas no passo 2 são contínuas
- Escolher um intervalo para e outro para onde as funções do passo 2 são contínuas e que contenham a condição inicial.
Se você conseguir fazer os 4 passos, parabéns a solução existe e é única!
Imagine que queremos determinar a existência e unicidade do problema abaixo:
Como eu falei o passo 1 é isolar a derivada como aqui embaixo
Agora, vamos ao passo 2, identificando
Calculando a derivada
Aqui no passo 3, devemos achar intervalos onde essas funções são contínuas. Como são polinômios, essas funções são continuas para todos os reais.
O passo 4 diz que devemos escolher intervalos que contenham a condição inicial. Condição inicial é essa informação adicional que ele te deu no enunciado:
Agora precisamos de intervalos que contenham essa condição e que estejam dentro dos intervalos achados no passo 3. Vamos escolher então os seguintes intervalos
Veja que o valor do inicial, 1, está contido no intervalo de bem como o inicial, 2, está contido no intervalo de . Já que as funções são contínuas para todos os reais a gente poderia ter tomado qualquer intervalo em que a condição inicial estivesse dentro.
Como fomos capazes de fazer o passo a passo o teorema garante que existe uma única solução num intervalo que contem o valor de inicial.
Só para deixar mais geral. Se tivermos o seguinte problema de valor inicial
Devemos determinar intervalos e que contenha . Se e forem contínuas nesses intervalos a solução existe e é única num intervalo que contem .
OBS: Olha bem que o intervalo de não precisa ser o mesmo do . Além disso, o teorema garante que a solução existe e é única num intervalo que contem , não necessariamente o intervalo que a gente determinou no nosso passo 1.
Solução por Inspeção
Agora sabemos como garantir a existência de soluções! Então não vamos perder mais tempo e vamos resolver algumas EDO’s. A gente vai ver vários métodos para resolver EDO’s complicadonas, mas por hora vou relembrar umas propriedades de derivadas que vão te ajudar:
é uma constante
Tá pronto para resolver nossa primeira EDO? Então, lá vai
Pra resolver esse problema temos que achar alguma função que se comporte dessa maneira. A idéia é sempre usar alguma daquelas funções que conversamos antes. Do que eu te mostrei ali em cima qual função é bem parecida com sua derivada? A exponencial! Para a função ser idêntica a derivada basta que . Portanto a solução é:
Isso que fizemos, chama-se solução por inspeção. Batendo só mais um casinho pra fixar.
Mexendo no nosso arsenal de funções, nós percebemos que a função seno vira menos seno depois de ser derivada duas vezes. Assim, a solução é:
Como vocês devem ter percebido, a função cosseno também funciona dessa forma. Será que é possível ter mais de uma solução pra uma EDO? Sim!
Uma EDO pode ter mais de uma solução sem nenhum problema. Podemos simplesmente pensar no primeiro caso de termos uma função do tipo
Logo não devemos nos assustar quando acharmos mais de uma solução para uma EDO, isso é perfeitamente comum.
Mantendo em mente as funções características seremos capazes de resolver qualquer problema de solução por inspeção que encontrarmos.