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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.4 - Ex. 22-a

22. (a) Verifique se ambas as funções

  y 1 ( t )   =   1   –   t  

  y 2 ( t )   =   – t 2 / 4

são soluções do problema de valor inicial

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y 2 =   - 1

Onde essas soluções são válidas?(b) Explique por que a existência de duas soluções para o problema dado não contradiz aunicidade no Teorema 2.4.2.(c) Mostre que y = ct + c2, em que c é uma constante arbitrária, satisfaz a equação diferencialno item (a) para t ≥ –2c. Se c = –1, a condição inicial também é satisfeita, e obtemos a soluçãoy = y1(t). Mostre que não existe escolha de c que fornece a segunda solução y = y2(t)

Passo 1

  1. Esses exercícios de “verifique que a função é solução” , existe dois métodos de provar que estamos certos. Um é realmente integrar e descobrir que ambos os lados são iguais. O outro – para mim o mais fácil – é aplicar a solução na diferencial e derivar. Derivar é sempre mais fácil que integrar

Vamos então agora derivar a função y 1

y 1 ( t )   =   1   –   t  

d y 1 d t =   - 1

Talvez você se pergunte, mas como -1 pode ser uma solução para aquele enunciado ? Simples acompanha comigo!!!

Passo 2

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y ' = - 1

Entao agora vamos igualar a duas e usar y 1 ( t )   =   1   –   t   para substituir y

- 1 =   - t + t 2 + 4 1 - t 2

Agora vamos aplicar os dados de contorno

y 2 =   - 1

Assim nossa equação fica

- 1 =   1 + 1 + 4 1 - 2 2

Bem obviamente essa equação não é verdadeira, a não ser que

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

Fosse na verdade

y ' = - t - t 2 + 4 y   2

E assim teríamos

- 1 = 1 - 3 2

- 1 = - 1

Entao   y 1 ( t )   =   1   –   t  

É solução, se e somente se, a nossa raiz for negativa.

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa com y 2

y 2 t =   – t 2 4

d d t y 2 t =   – t 2

Vamos igualar agora as equações

y ' = - t + t 2 + 4 y   2

y ' = - t 2

- t 2 =   - t + t 2 + 4 - t 2 4   2  

- t 2 = - t 2

Entao y 2 t =   – t 2 4

É solução para os casos onde a raiz é positiva

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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