Introdução à Equações Diferenciais Ordinárias

Produzido por Mariana Pessanha
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Teoria

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Equação Diferencial Ordinária

Para começar a falar de EDO primeiro precisamos relembrar alguns conceitos importantes...

Equação Diferencial:

A equação diferencial é uma equação que envolve funções e suas derivadas. Da uma olhada:

Aqui temos a variável e a derivada .

Esse exemplo pode também ser escrito como , então estaríamos tratando de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, mas falaremos mais delas num tópico específico mais para frente.

Nesses casos chamamos de variável dependente e de variável independente.

EDO

As equações diferenciais ordinárias (EDO), são equações que envolvem uma função que depende de uma única variável.
Na prática a gente verifica se na equação existem derivadas relativas apenas a uma variável.

Vamos facilitar a compreensão através de alguns exemplos:

É uma equação diferencial ordinária pois envolve somente a derivada em relação a .

Também é uma equação diferencial ordinária pois só tem derivadas em relação a .

Apesar de haver duas variáveis dependentes diferentes, ambas estão sendo derivadas em relação a . Portanto, é uma equação diferencial ordinária.

Opa!!! Essa daqui é diferente. Essa equação diferencial envolve tanto derivadas em relação a  como derivadas em relação a . Logo ela não é uma equação diferencial ordinária.

📢OBS: Esse tipo de equação diferencial chamamos de equação diferencial parcial. Temos tópicos dedicados apenas a essa parte da matéria e você pode encontrá-los em nosso site.

Além disso, você ainda vai aprender sobre a Ordem e Linearidade de uma Equação Diferencial, sobre EDO's de 1ª Ordem Homogênea e EDO's de 1ª Ordem Não Homogênea, e claro sobre o queridinho de todo professor, o famoso PVI, também conhecido como Problema do Valor Inicial, que SEMPRE aparece nas provas. Tudo aqui, no RespondeAi! Confere o conteúdo do nosso site, feito pelo nosso time de Experts, pensado especialmente para você.

Exercícios

No RespondeAi além de toda a teoria em texto e em vídeo, você encontra cada tópico acompanhado com uma sessão de exercícios, onde temos exercícios ordenados em ordem crescente de dificuldade e com resoluções em texto e em vídeo! Confere aqui um desses exercícios do tópico de EDO Separável:

Ache a solução geral da equação diferencial:

Passo 1

No RespondeAi todas as soluções são dadas Passo a Passo para você não se perder no meio da resolução. No caso estaremos lidando com um EDO separável, e para resolvê-la precisaremos saber como integrar, e no nosso primeiro passo reescreveremos a maneira em que os termos estão escritos nessa EDO.

O lado direito dessa EDO pode ser reescrito com nossos conhecimentos de produto notável como:

Então temos que:

Passo 2

Agora que já temos, duas componentes separadas, cada um com sua respectiva variável, nós podemos manipular algebricamente essa equação e escrever:

Então aqui temos nossas duas expressões, do lado esquerdo e do lado direito, que precisamos integrar para chegar no resultado:

Passo 3

Fazendo as integrais:

Reescrevendo a EDO, e levando em conta que apenas precisamos representar uma das constantes:

Passo 4

No passo 3 já teríamos chegado a resposta, e você poderia pedir boa parte da questão para o seu professor, mas para ficar perfeito, temos que elevar ambos os lados a função exponencial e deixar o resultado na forma explícita em relação a :

Que é o mesmo que:

Resposta

é

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