Introdução à Equações Diferenciais Ordinárias
Teoria
Opa e aí, como vai seu semestre de Cálculo? Esta se esforçando para entender tudo que seu professor ta passando? Porque não contar com uma ajuda? Nós somos o RespondeAi e temos o produto certo para te ajudar a mandar bem na sua prova.
Equação Diferencial Ordinária
Para começar a falar de EDO primeiro precisamos relembrar alguns conceitos importantes...
Equação Diferencial:
A equação diferencial é uma equação que envolve funções e suas derivadas. Da uma olhada:
Aqui temos a variável
Esse exemplo pode também ser escrito como
Nesses casos chamamos
EDO
As equações diferenciais ordinárias (EDO), são equações que envolvem uma função que depende de uma única variável.
Na prática a gente verifica se na equação existem derivadas relativas apenas a uma variável.
Vamos facilitar a compreensão através de alguns exemplos:
É uma equação diferencial ordinária pois envolve somente a derivada em relação a
Também é uma equação diferencial ordinária pois só tem derivadas em relação a
Apesar de haver duas variáveis dependentes diferentes, ambas estão sendo derivadas em relação a
Opa!!! Essa daqui é diferente. Essa equação diferencial envolve tanto derivadas em relação a
📢OBS: Esse tipo de equação diferencial chamamos de equação diferencial parcial. Temos tópicos dedicados apenas a essa parte da matéria e você pode encontrá-los em nosso site.
Além disso, você ainda vai aprender sobre a Ordem e Linearidade de uma Equação Diferencial, sobre EDO's de 1ª Ordem Homogênea e EDO's de 1ª Ordem Não Homogênea, e claro sobre o queridinho de todo professor, o famoso PVI, também conhecido como Problema do Valor Inicial, que SEMPRE aparece nas provas. Tudo aqui, no RespondeAi! Confere o conteúdo do nosso site, feito pelo nosso time de Experts, pensado especialmente para você.
Exercícios
No RespondeAi além de toda a teoria em texto e em vídeo, você encontra cada tópico acompanhado com uma sessão de exercícios, onde temos exercícios ordenados em ordem crescente de dificuldade e com resoluções em texto e em vídeo! Confere aqui um desses exercícios do tópico de EDO Separável:
Ache a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
No RespondeAi todas as soluções são dadas Passo a Passo para você não se perder no meio da resolução. No caso estaremos lidando com um EDO separável, e para resolvê-la precisaremos saber como integrar, e no nosso primeiro passo reescreveremos a maneira em que os termos estão escritos nessa EDO.
O lado direito dessa EDO pode ser reescrito com nossos conhecimentos de produto notável como:
Então temos que:
Passo 2
Agora que já temos, duas componentes separadas, cada um com sua respectiva variável, nós podemos manipular algebricamente essa equação e escrever:
Então aqui temos nossas duas expressões, do lado esquerdo e do lado direito, que precisamos integrar para chegar no resultado:
Passo 3
Fazendo as integrais:
Reescrevendo a EDO, e levando em conta que apenas precisamos representar uma das constantes:
Passo 4
No passo 3 já teríamos chegado a resposta, e você poderia pedir boa parte da questão para o seu professor, mas para ficar perfeito, temos que elevar ambos os lados a função exponencial e deixar o resultado na forma explícita em relação a
Que é o mesmo que:
Resposta
Exercícios
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON education do brasil ltda., 2007, pp. 162 - 1
Sabe-se que é uma família de soluções para no intervalo . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais e .
Passo 1
Trata-se de um problema de valor inicial, pois temos informações do tipo:
Como o problema já afirma que é solução, não precisamos provar que é solução.
Portanto, vamos começar encontrando a primeira derivada de .
Passo 2
Agora, vamos utilizar as informações fornecidas no enunciado para encontrar o valor das constantes. Temos:
Então substituindo:
Isso nos dá que:
Agora pra outra condição que o problema deu:
Então temos que:
Como vimos que :
Logo:
Passo 3
Por fim, basta substituir os valor de e na equação:
Fica assim:
Agora vamos voltar pra testar?! Lá no nosso enunciado tínhamos:
Conhecemos o , agora vamos calcular a sua derivada segunda:
Substituindo:
Prontinho!