Existência e Unicidade
Teoria
Semelhante ao que estudamos em EDOs de primeira ordem, também é possível determinar a existência e a unicidade da solução de um PVI de EDO de segunda ordem partindo somente da equação diferencial e do ponto do valor inicial. Na verdade, esse teorema vai além e nos possibilita determinar a existência e unicidade para qualquer EDO de ordem , .
A ideia é determinarmos utilizando o teorema que iremos enunciar um intervalo onde o problema teria uma solução única. Antes de enunciarmos o teorema também teremos que determinar uma padronização para a escrita das EDOs. Elas serão escritas segundo o modelo abaixo para uma EDO de ordem n.
Como isso padronizado e considerando os valores iniciais para , vamos ao teorema
Sejam contínuas em um intervalo I com para todo neste intervalo. Se é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução para o problema de valor inicial neste intervalo.( Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp143)
l.( Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp40)
Esse teorema nos diz que para existir uma solução única temos que todas aquelas funções devem ser continuas e a função correspondente à derivada de maior grau deve ser sempre diferente de zero dentro do intervalo. Além disso, esse intervalo deve conter .
Vamos pros exercícios que fica tudo mais claro.
Determine um intervalo onde existe uma solução única para a EDO
De cara já vemos que , agora vamos definir as funções que usamos no teorema.
Só olhando nos percebemos que essas funções são continuas para qualquer intervalo dos reais. Vamos conferir a outra parte do teorema, .
Então temos que ter um intervalo que não contenha zero e, pelo terorema, que contenha . Logo o maior intervalo será:
Tudo bem simples, agora é só praticar.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp163-11
Encontre um intervalo em torno de no qual o problema de valor inicial dado tenha um a única solução
Passo 1
Vamos primeiro reescrever a EDO pra ficar com a cara completa de uma EDO de segunda ordem.
Disso temos as funções que analisaremos com o teorema da existência e unicidade
Passo 2
Temos que achar um intervalo onde as funções acima são continuas e é evidente que isso acontece para qualquer intervalo.
Vamos passar pra segunda parte do teorema
Temos então que encontrar um intervalo em torno de que não contenha o 2, ou seja
Outra resposta possível é
Resposta
A EDO terá uma solução única no intervalo abaixo
Exercício Resolvido #2
Dennis G. Zill e Michael R. Cullen, Equações Diferencias Volume 1,3ª ed., 2001, pp163-12
Encontre um intervalo em torno de no qual o problema de valor inicial dado tenha uma única solução
Passo 1
Vamos primeiro reescrever a EDO pra ficar com a cara completa de uma EDO de segunda ordem.
Disso temos as funções que analisaremos com o teorema da existência e unicidade
Passo 2
Temos que achar um intervalo onde as funções acima são contínuas. Só teremos um problema com continuidade na tangente de x.
A função tangente não é definida para . Logo o nosso intervalo em torno de deverá ser o seguinte para satisfazer a continuidade da função tangente
Vamos passar pra segunda parte do teorema
Não temos nenhuma mudança no intervalo já que 1 será sempre diferente de 0, logo o intervalo será o definido acima.
Resposta
A EDO terá uma solução única no intervalo abaixo