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Aproximação Quadrática de uma Função de Várias Variáveis

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Teoria

Aproximação Quadráticas de uma função

Fala,galera. Já estudamos aproximações lineares para funções de uma variável e de várias variáveis. Mas e se eu não quiser uma aproximação linear, se eu quiser uma aproximação quadrática? Ué, pode isso? Claro que sim! E nós vamos ver como se faz!

Lá em aproximação linear vimos que , para funções de uma variável, nós fazíamos a aproximação pela reta tangente.

Isso faz total sentido se pensarmos que em um ponto bem próximo a reta tangente, o valor dessa reta se confunde com o da própria função. Já para funções de várias variáveis, a aproximação se dava pelo plano tangente.

Mas como eu faço no caso de aproximações quadráticas ??? Bom, no caso de funções de uma variável a aproximação será por uma parábola, enquanto que em funções de várias variáveis ocorre por meio de um paraboloide. Calma que vamos ver passo a passo como se faz isso.

Cálculo: Função de uma variável

Como já adiantamos acima, a aproximação de uma função f x nas proximidades de x = x 0 será feita através de uma parábola y x = a x 2 + b x + c . Graficamente temos:

Agora, o nosso trabalho é encontrar os coeficientes dessa parábola. Para que seja uma boa aproximação, a parábola y x deve atender a alguns requisitos:

  • O valor de f x 0 deve ser igual ao da parábola nesse ponto. Ou seja:

    • y x 0 = f x 0

    O que nos leva a:

    a x 0 2 + b x 0 + c = f x 0   i

  • O valor da derivada primeira da função, deve ser igual ao valor da derivada primeira da parábola naquele ponto. Ou seja:

    • y ' x 0 = f ' ( x 0 )

    O que implica em:

    2 a x 0 + b = f ' x 0   i i

  • O valor da derivada segunda da função, deve ser igual ao valor da derivada segunda da parábola naquele ponto. Ou seja:

    • y " x 0 = f " x 0

    O que resulta em:

    2 a = f " x 0   ( i i i )  

    Agora podemos manipular essas equações a fim de encontrar os coeficientes da parábola . Vamos começar por a :

    Da equação i i i temos:

    a = f " x 0 2      

    Vamos encontrar b . Da equação i i temos:

    b = f ' x 0 - 2 a x 0

    Substituindo o valor de a temos:

    b = f ' x 0 - f " x 0 x 0

    Vamos encontrar c . Da equação i temos:

    c = f x 0 - a x 0 2 - b x 0

    Substituindo os valores de a e b temos:

    c = f x 0 - f " x 0 2   x 0 2 - f ' x 0 x 0 + f " x 0 x 0 2  

    Ajeitando:

    c = f x 0 - f ' x 0 x 0 + f " x 0 2   x 0 2

    Beleza! Já temos os coeficientes da parábola, agora é só substituir e encontrar sua equação. Vai ficar assim:

    y x = a x 2 + b x + c

    Substituindo

    y x = f " x 0 2 x 2 + f ' x 0 x - f " x 0 x 0   x + f x 0 - f ' x 0 x 0 + f " x 0 2   x 0 2

    Ajeitando, finalmente temos:

    y x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f " x 0 2 x - x 0 2

    Portanto, essa é a equação da parábola que melhor se ajusta a função f x nas proximidades de x = x 0 .

    Cálculo: Função de várias variáveis

    Como já dito, a aproximação quadrática de uma função f x , y nas proximidades de x , y = x 0 , y 0 será feita através do paraboloide z ( x , y ) = a + b x + c y + d x 2 + e y 2 + g x y , Com a , b , c , d , e , g sendo constantes,pois essa equação expressa um paraboloide qualquer.

    Agora, o nosso trabalho é encontrar os coeficientes desse paraboloide. Para que seja uma boa aproximação, o paraboloide z deve atender a alguns requisitos:

  • O valor de f x 0 , y 0 deve ser igual ao do paráboloide nesse ponto. Ou seja:

    • z x 0 , y 0 = f x 0 , y 0

    O que nos leva a:

    a + b x 0 + c y 0 + d x 0 2 + e y 0 2 + g x 0 y 0 = f x 0 , y 0   i v

  • O valor das derivadas primeiras da função, deve ser igual ao valor das derivadas primeiras do paraboloide naquele ponto. Ou seja:

    • z x x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0

    z y x 0 , y 0 = f y x 0 , y 0  

    O que implica em:

    b + 2 d x 0 + g y 0 = f x x 0 , y 0   v

    c + 2 e y 0 + g x 0 = f y x 0 , y 0   v i  

  • O valor das derivadas segundas da função, deve ser igual ao valor das derivadas segundas do prabolóide naquele ponto. Ou seja:

z x x x 0 , y 0 = f x x x 0 , y 0  

z x y x 0 , y 0 = f x y x 0 , y 0  

z y y x 0 , y 0 = f y y x 0 , y 0  

z y x x 0 , y 0 = f y x x 0 , y 0  

O que resulta em:

2 d = f x x x 0 , y 0   ( v i i )  

g = f x y x 0 , y 0   v i i i

2 e = f y y x 0 , y 0   i x

g = f y x x 0 , y 0

Obs.: Repare que f y x x 0 , y 0 = f x y x 0 , y 0 = g , portanto toda a análise que será feita a seguir só srve para funções que obedeçam o teorema de Clairaut f x y = f y x .

Agora podemos manipular essas equações a fim de encontrar os coeficientes do parabolóide. Da equação v i i i temos:

g = f x y x 0 , y 0

Da equação i x :

e = f y y x 0 , y 0 2

Da equação ( v i i ) :

d = f x x x 0 , y 0 2

Da equação v :

b = f x x 0 , y 0 - 2 d x 0 - g y 0

b = f x x 0 , y 0 - f x x x 0 , y 0 x 0 - f x y x 0 , y 0 y 0

Da equação v i :

c = f y x 0 , y 0 - 2 e y 0 - g x 0

c = f y x 0 , y 0 - f y y x 0 , y 0 y 0 - f x y x 0 , y 0 x 0

Da equação i v :

a = f x 0 , y 0 - b x 0 - c y 0 - d x 0 2 - e y 0 2 - g x 0 y 0

a = f x 0 , y 0 - ( f x x 0 , y 0 - f x x x 0 , y 0 x 0 - f x y x 0 , y 0 y 0 ) x 0 - f y x 0 , y 0 - f y y x 0 , y 0 y 0 - f x y x 0 , y 0 x 0 y 0 - f x x x 0 , y 0 2 x 0 2 - f y y x 0 , y 0 2 y 0 2 - f x y x 0 , y 0 x 0 y 0

Ajeitando chegamos a:

a = f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 x 0 - f y x 0 , y 0 y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x 0 + y 0 - x 0 y 0  

Esse ficou grande. Calma que ta acabando. Agora, a ideia é pegar os coeficientes que encontramos e substituir na equação do paraboloide, encontrando assim sua equação.

Então temos:

z = a + b x + c y + d x 2 + e y 2 + g x y

z = f x 0 , y 0 - f x x 0 , y 0 x 0 - f y x 0 , y 0 y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x 0 + y 0 - x 0 y 0 + f x x 0 , y 0 - f x x x 0 , y 0 x 0 - f x y x 0 , y 0 y 0 x + f y x 0 , y 0 - f y y x 0 , y 0 y 0 - f x y x 0 , y 0 x 0 y + f x x x 0 , y 0 2 x 2 + f y y x 0 , y 0 2 y 2 + f x y x 0 , y 0 x y

Ajeitando isso, chegamos a :

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Portanto, essa é a equação do paraboloide que melhor se ajusta a função f x , y nas proximidades de x , y = x 0 , y 0   .

Vamos ver um exemplo:

Fazer a aproximação quadrática da função f x , y = ln ⁡ x y 2 em x , y = 2,1 .

Sabemos que a equação do paraboloide é dada por

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Substituindo o ponto dado, a equação fica:

z = f 2,1 + f x 2,1 x - 2 + f y 2,1 y - 1 + f x x 2,1 2 x - 2 2 + f y y 2,1 2 y - 1 2 + f x y 2,1 x - 2 y - 1

Vamos calcular as informações necessárias:

f 2,1 = ln ⁡ 2

As derivadas de primeira ordem são:

f x 2,1 = 1 x y = 1 2

f y 2,1 = 1 x y 2 y = 2 x = 2 2 = 1

As derivadas de segunda ordem são:

f x x 2,1 = - 1 y x 2 = - 1 4

f y y 2,1 = 0

f x y = - 2 x 2 = - 1 2

Substituindo na equação do paraboloide obtemos:

z = ln ⁡ 2 + 1 2 x - 2 + 1 y - 1 - 1 8 x - 2 2 + 0 y - 1 2 - 1 2 x - 2 y - 1

z = ln ⁡ 2 + 1 2 x - 2 + y - 1 - 1 8 x - 2 2 - 1 2 x - 2 y - 1

Bora pros exercícios?!!

Cálculo: Função de várias variáveis

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Aproxime a função f x , y = cos ⁡ x cos ⁡ y por um paraboloide em x , y = 0 , π

Passo 1

Precisamos nos lembrar da equação do paraboloide que melhor se ajusta a f x . Vai ser:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Vamos começar expressando a equação em x , y = 0 ,   π . Fica assim:

z = f 0 , π + f x 0 , π x - 0 + f y 0 , π y - π + f x x 0 , π 2 x - 0 2 + f y y 0 , π 2 y - π 2 + f x y 0 , π x - 0 y - π

Podemos ainda calcular:

f 0 , π = cos ⁡ 0 cos ⁡ π = 1 - 1 = - 1

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas de ordem um:

f x 0 , π = - sen ⁡ x cos ⁡ y = - s e n 0 cos ⁡ π = 0

f y 0 , π = - cos ⁡ x s e n y = - cos ⁡ 0 s e n π = 0

Passo 3

Calcularemos as derivadas de segunda ordem:

f x x 0 , π = - cos ⁡ x cos ⁡ y = - cos ⁡ 0 cos ⁡ π = 1

f y y 0 , π = - cos ⁡ x cos ⁡ y = - cos ⁡ 0 cos ⁡ π = 1

f x y 0 , π = s e n x s e n y = s e n 0 s e n π = 0

f y x x , y = s e n x s e n y = s e n 0 s e n π = 0

Passo 4

Substituir as informações na equação do paraboloide:

z = f 0 , π + f x 0 , π x - 0 + f y 0 , π y - π + f x x 0 , π 2 x - 0 2 + f y y 0 , π 2 y - π 2 + f x y 0 , π x - 0 y - π

Substituindo:

z = - 1 + 0 + 0 + 1 2 x 2 + 1 2 y - π 2 + 0

z = - 1 + 1 2 x 2 + 1 2 y - π 2

Resposta

z = - 1 + 1 2 x 2 + 1 2 y - π 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Utilize a aproximação quadrática para calcular o valor da função f x , y = 4 - 3 x 2 - 2 y 2 no ponto 1.02,0.99

Passo 1

Precisamos nos lembrar da equação do paraboloide que melhor se ajusta a f x . Vai ser:

z = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 y - y 0 + f x x x 0 , y 0 2 x - x 0 2 + f y y x 0 , y 0 2 y - y 0 2 + f x y x 0 , y 0 x - x 0 y - y 0

Porém tem um pequeno detalhe, precisamos escolher um ponto próximo ao ponto 1.02,0 . 99 para encontrar o paraboloide que mais se aproxima da função e assim poder calcular f 1.02,0.99

A fim de facilitar as contas, vamos escolher o ponto 1,1 .

Agora, vamos expressar a equação em x , y = 1,1 . Fica assim:

z = f 1 , 1 + f x 1 , 1 x - 1 + f y 1 , 1 y - 1 + f x x 1 , 1 2 x - 1 2 + f y y 1 , 1 2 y - 1 2 + f x y 1 , 1 x - 1 y - 1

Podemos ainda calcular:

f 1 , 1 = 4 - 3 1 2 - 2 1 2 = - 1

Passo 2

Agora vamos calcular as derivadas de ordem um:

f x 1 , 1 = - 6 x = - 6 1 = - 6

f y 1 , 1 = - 4 y = - 4

Passo 3

Calcularemos as derivadas de segunda ordem:

f x x 1 , 1 = - 6

f y y 1 , 1 = - 4

f x y 1 , 1 = 0

f y x x , y = 0

Passo 4

Substituir as informações na equação do paraboloide:

z = f 1,1 + f x 1,1 x - 1 + f y 1,1 y - 1 + f x x 1,1 2 x - 1 2 + f y y 1,1 2 y - 1 2 + f x y 1,1 x - 1 y - 1

Substituindo:

z = - 1 - 6 x - 1 - 4 y - 1 + - 6 2 x - 1 2 + - 4 2 y - 1 2 + 0 x - 1 y - 1

z = - 1 - 6 x - 1 - 4 y - 1 - 3 x - 1 2 - 2 y - 1 2

Passo 5

Agora só falta calcular z 1.02,0 . 99

Temos:

z = - 1 - 6 1.02 - 1 - 4 0.99 - 1 - 3 1.02 - 1 2 - 2 0.99 - 1 2

z = - 1,0814

Resposta

z = - 1,0814

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