Diferencial de uma Função de Várias Variáveis

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Erro máximo de uma função

As derivadas parciais podem nos ajudar a encontrar o erro máximo de um conjunto de medidas usadas em uma função. Tipo a gente faz em física experimental, quando o erro de uma função é igual as derivadas parciais da função vezes os erros das medidas.

Assim, para encontrarmos o erro de uma função z = f ( x , y ) temos que resolver a diferencial:

d f = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

Onde d f é o erro da função, f x e f y são as derivadas parciais dela em relação as variáveis x e y e d x e d y são os erros das medidas x e y .

Se liga só:

Calcule o erro do volume de um cilindro cujo raio da base mede 1 m , medido com erro de 0,5 % , e sua altura é de 2 m , medida com erro de 2 c m .

Primeira coisa: qual a nossa função?

Bem, se queremos calcular o erro do volume, nossa função é o volume. Considerando que nosso cilindro tem raio x e altura y , nossa função será:

V x , y = π x 2 . y

Agora precisamos calcular as derivadas parciais e os erros de cada uma das medidas.

Vamos começar pelos erros:

O erro de y   ele já diz de cara que é de 2 c m . Assim:

d y = 0,02 m

O erro do raio da base x é dado na forma percentual, então temos que multiplicar o valor do raio pelo seu erro percentual para encontrar o d x :

d x = x . 0,5

d x = 1 . 0,5 100 = 0,005

Ótimo, agora vamos calcular as derivadas parciais da função:

V x , y = π x 2 . y

f x = π . 2 x . y = 2 π x y

f y = π x 2 . 1 = π x ²

Pronto, agora é só substituir:

d f = f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y

d V = 2 π x 0 y 0 . 0,005 + π x 0 2 . 0,02

Como x 0 = 1 e y 0 = 2 :

d V = 2 π . 1.2 . 0,005 + π . 1 2 . 0,02

d V = 0,04 π

Só isso!! Tranquilão né?

Erro percentual

O erro percentual de uma função pode ser calculado pela fórmula

d f f x 0 , y 0 × 100

Então, o erro percentual fica

f x x 0 , y 0 d x + f y x 0 , y 0 d y f x 0 , y 0 × 100

Tá abstrato demais? Se liga nesse exemplo aqui, então

Lá no nosso exemplo, a gente tinha que calcular o erro do volume do cilindro. Vejamos como fica a forma percentual! O volume é dado por

V = π r ² h

V 0 = π r 0 2 h 0 = π 1 2 . 2 = 2 π

O erro percentual do volume vai ser

d V V 0 = 0.04 π 2 π × 100 = 2 %

Viu como é de boas?!

Então fique atento pra resolver as derivadas parciais e colocar os erros da maneira correta que ai você vai estar a menos uma questão do seu 10 na prova hahah!

Erro percentual

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