Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Com as derivadas direcionais, vimos que podemos estudar a taxa de variação de uma função na direção de qualquer vetor.

Por isso podemos nos perguntar: em que direção a função cresce mais rápido?

A resposta é bem simples: a função cresce mais rápido na direção do vetor gradiente!

Coisa meio doida? Não é não! A gente viu que a derivada direcional é dada por:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

Mas, quando um produto escalar é máximo? Quando os vetores apontam no mesmo sentido, ou seja, no sentido do gradiente!

Portanto, a derivada direcional da função f x , y na direção de um vetor u é máxima se u for o próprio gradiente da função:

u = ∇ f x , y ⇔ ∂ f ∂ u x , y = m a x

E a taxa de variação máxima é o módulo do gradiente:

t a x a   m á x i m a = ∇ f x , y

Da mesma forma, a função f decresce o mais rápido na direção do vetor - ∇ f ( x , y ) , e essa taxa de decrescimento máximo é menos o módulo do gradiente.

E é basicamente isso! :)

Por exemplo:

f x , y = 3 + x y - x 2 - y 2

Vamos descobrir em que direção a taxa de variação de f é máxima, a partir do ponto 1 ,   2 .

Pra isso basta calcular o gradiente!

∂ f ∂ x x , y = y - 2 x

∂ f ∂ y x , y = x - 2 y

No ponto 1 ,   2 :

∇ f 1 ,   2 = 2 - 2 ,   1 - 4 = 0 , - 3

Portanto a função cresce mais rápido na direção do vetor 0 , - 3 . Repare a coordenada x é nula, e a coordenada y é negativa. Então podemos dizer que a função cresce mais rápido no sentido negativo do eixo y .

A taxa desse crescimento é dada por:

∇ f 1 ,   2 = 0 2 + - 3 2 = 3

E pra saber a direção/taxa de decrescimento mais rápido, basta inverter os resultados!

Assim, a função diminui mais rapidamente na direção do vetor ( 0 ,   3 ) (ou 0 ,   1 ,   0 ,   π , eixo y , tanto faz), e a taxa de decrescimento vale - ∇ f 1 ,   2 = - 3 .

Tranquilo né? ;)

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