Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
Produzido por Bruno NeresTeoria
Com as derivadas direcionais, vimos que podemos estudar a taxa de variação de uma função na direção de qualquer vetor.
Por isso podemos nos perguntar: em que direção a função cresce mais rápido?
A resposta é bem simples: a função cresce mais rápido na direção do vetor gradiente!
Coisa meio doida? Não é não! A gente viu que a derivada direcional é dada por:
Mas, quando um produto escalar é máximo? Quando os vetores apontam no mesmo sentido, ou seja, no sentido do gradiente!
Portanto, a derivada direcional da função na direção de um vetor é máxima se for o próprio gradiente da função:
E a taxa de variação máxima é o módulo do gradiente:
Da mesma forma, a função decresce o mais rápido na direção do vetor , e essa taxa de decrescimento máximo é menos o módulo do gradiente.
E é basicamente isso! :)
Por exemplo:
Vamos descobrir em que direção a taxa de variação de é máxima, a partir do ponto .
Pra isso basta calcular o gradiente!
No ponto :
Portanto a função cresce mais rápido na direção do vetor . Repare a coordenada é nula, e a coordenada é negativa. Então podemos dizer que a função cresce mais rápido no sentido negativo do eixo .
A taxa desse crescimento é dada por:
E pra saber a direção/taxa de decrescimento mais rápido, basta inverter os resultados!
Assim, a função diminui mais rapidamente na direção do vetor (ou , eixo , tanto faz), e a taxa de decrescimento vale .
Tranquilo né? ;)