Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
Teoria
Com as derivadas direcionais, vimos que podemos estudar a taxa de variação de uma função na direção de qualquer vetor.
Por isso podemos nos perguntar: em que direção a função cresce mais rápido?
A resposta é bem simples: a função cresce mais rápido na direção do vetor gradiente!
Coisa meio doida? Não é não! A gente viu que a derivada direcional é dada por:
Mas, quando um produto escalar é máximo? Quando os vetores apontam no mesmo sentido, ou seja, no sentido do gradiente!
Portanto, a derivada direcional da função na direção de um vetor é máxima se for o próprio gradiente da função:
E a taxa de variação máxima é o módulo do gradiente:
Da mesma forma, a função decresce o mais rápido na direção do vetor , e essa taxa de decrescimento máximo é menos o módulo do gradiente.
E é basicamente isso! :)
Por exemplo:
Vamos descobrir em que direção a taxa de variação de é máxima, a partir do ponto .
Pra isso basta calcular o gradiente!
No ponto :
Portanto a função cresce mais rápido na direção do vetor . Repare a coordenada é nula, e a coordenada é negativa. Então podemos dizer que a função cresce mais rápido no sentido negativo do eixo .
A taxa desse crescimento é dada por:
E pra saber a direção/taxa de decrescimento mais rápido, basta inverter os resultados!
Assim, a função diminui mais rapidamente na direção do vetor (ou , eixo , tanto faz), e a taxa de decrescimento vale .
Tranquilo né? ;)
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Seja a função
E o ponto . Determine:
- A direção na qual a taxa de variação de em é máxima.
- O valor dessa taxa de variação máxima.
Passo 1
a)
A taxa de variação de é máxima na direção do vetor . Então vamos calcular esse gradiente:
Então cresce mais rápido na direção do vetor .
Passo 2
b)
O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, e vale:
Resposta
a) Na direção do vetor .
b) A taxa máxima é .
Exercício Resolvido #2
Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 3
Considere a função Para que a derivada direcional seja máxima, o ângulo que o vetor deve formar com o eixo é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O crescimento é máximo no sentido do vetor gradiente. Então para que seja máxima o vetor tem que estar na mesma direção e sentido de . Então vamos calcular esse gradiente! Pela regra do produto:
Também temos:
Logo:
Passo 2
Portanto, o vetor tem que ser paralelo ao vetor . Então os dois vetores têm que fazer o mesmo ângulo com o eixo ! Mas o vetor é paralelo ao eixo :
Ou seja, o ângulo entre o vetor e o eixo é . Então o vetor também vai ter que formar um ângulo de com o eixo .
Resposta
Alternativa (e)
Exercício Resolvido #3
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009
O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.
- Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
- Se a espaçonave viaja a unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?
Passo 1
a)
Atenção ele perder temperatura mais rápido não é a derivada direcional máximo, mas sim mínima porque ele quer PERDER temperatura!!
Essa direção é menos o gradiente. O gradiente vai ser
Passo 2
Vamos agora substituir o ponto
A direção que ele pediu é menos isso
Podemos arrumar esse rapaz feioso ai,
A direção mais bonitinha vai ficar
Passo 3
b)
Como a direção é a de menor derivada direcional então podemos achar a derivada direcional pelo módulo do vetor gradiente.
Vamos então achar o módulo do vetor gradiente
Vamos ter
Mas ele quer a variação no tempo. Vamos fazer a regra da cadeia
Essa variação da direção pelo tempo é a velocidade dele
Resposta
Exercício Resolvido #4
Cálculo 2 UFRJ, PF 2013.2, questão 2
A derivada direcional de num ponto é maior na direção e sentido de . Nessa direção o valor da derivada é . Qual é o gradiente de em ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das demais alternativas.
Passo 1
Vamos relembrar a fórmula da derivada direcional:
E ele nos deu . Logo,
E temos . Então só falta calcular seu módulo:
Passo 2
Então vamos ter
Multiplicando por dos 2 lados:
Passo 3
Agora tem que ficar atento no enunciado!
Ele disse que a derivada direcional é maior na direção e sentido de , e isso é uma característica do gradiente (a função cresce o mais rápido no sentido do gradiente).
Isso significa que e são paralelos, então o ângulo entre eles é zero. E por que eu disse isso? Pra gente aproveitar das propriedades do produto escalar!
O produto escalar de 2 vetores é o produto dos módulos dos vetores vezes o cosseno do ângulo entre eles, logo:
Passo 4
Lembrando que , vamos ter:
Show! Achamos que o gradiente é 2 vezes maior que , e já sabemos que eles têm a mesma direção e sentido, então
Resposta
Alternativa (d)
Exercício Resolvido #5
Cálculo 2 UNICAMP, P1 2013 Noite, questão 4
Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , em que , e são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas . O eixo positivo aponta para Leste e o eixo positivo aponta para Norte.
a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?
b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?
c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?
Passo 1
a)
Vamos dar uma passeada nessa montanha. Tá, se estamos andando para o Sul, então nosso vetor diretor é , beleza? Só imaginar os pontos cardeais mesmo, com o norte pra cima, sul pra baixo , Leste para a direita e Oeste para a esquerda .
Agora, para saber se estamos subindo ou descendo a montanha, temos que ver se a taxa de variação é positiva ou negativa. Isso significa ver se a derivada direcional é maior ou menos que ! Então, só temos que aplicar a definição:
Temos, aqui, , e, como sua normal já é , pois é um vetor unitário de uma direção, podemos desconsiderar no denominador ;)
Passo 2
Só precisamos encontrar agora o vetor gradiente, certo? Vamos lá! Pegamos a função, derivamos em relação a cada variável e montamos o vetor:
Agora, jogamos esse gradiente na equação da derivada direcional, tendo e , que são as coordenadas do ponto que estamos:
Assim, se andarmos para o Sul, teremos taxa de variação positiva de .
Passo 3
b)
Beleza, vamos fazer a mesma coisa, só precisamos mudar o vetor, certo? Nordeste está exatamente entre o Norte e o Leste. Para quem não consegui visualizar:
Logo, o vetor diretor da direção Nordeste é , certo? Ele faz certinho com os eixos cartesianos :)
Mas, atenção: o vetor não é unitário! Então, precisamos dividir pela sua norma, que será a raiz quadrada das coordenadas ao quadrado, ou seja
Ok, jogando tudo na equação da derivada direcional novamente, mas, agora para o vetor ,
Logo, estaremos descendo a uma taxa de !
Passo 4
c) A direção e maior taxa de variação é a direção do vetor gradiente (decore isso, é pra estar no sangue!). Assim, para sabermos a taxa de variação, vamos encontrar a norma do vetor gradiente, apenas isso! Se, para o ponto o vetor gradiente é, então, sua normal será:
Assim, estaremos variando nossa altura a !
Resposta
a) Se andarmos para o Sul, estaremos subindo a
b) Andando em sentido Nordeste, estaremos descendo a
c) Para termos a maior taxa de variação, temos que andar na direção do vetor gradiente, e estaremos subindo a