Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 23

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x , y = sin ⁡ x y ,   1,0

Passo 1

Oie, vou e ajudar a resolver essa atividade.

Dada a função:

f x , y = sin ⁡ x y

O problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado.

Primeiramente calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.

Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados. Dado que o vetor gradiente é:

∇ f x , y =   f x , f y

Para achar a taxa derivação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.

∇ f 1,0

Passo 2

Temos então que:

f x , y = sin ⁡ x y

Derivando em relação a x :

f x = y ⋅ cos ⁡ x y

Veja que em ambos os casos precisamos aplicar a regra da cadeia:

f y = x ⋅ cos ⁡ x y

Então o nosso gradiente é:

∇ f x , y =   f x , f y =   y c o s x y , x c o s ( x y )

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f 1,0 = 0,1

Calculando o modulo:

∇ f ( 1,0 ) =   0 2 + 1 2 = 1

Temos então a taxa de variação máxima:

1

E ocorre na direção:

∇ f 1,0 = 0,1

Resposta

Temos então a taxa de variação máxima:

1

E ocorre na direção:

∇ f 1,0 = 0,1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto 1,2 , 2 é 120 º º.Encontre a taxa de variação de T em
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z . a) Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor v
Suponha que você esteja escalando uma colina cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0.005 x 2 - 0.01 y 2 , onde x , y e z são medidos em metros, e você está parado no ponto de coordenadas 60,40,966
A temperatura no ponto x , y , z é dado por: T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 Onde T é medido por º Cº e x , y , z m metros. Encontre a taxa de variação no ponto P 2 , - 1,2 na direção do pon
Admita que T ( x , y )=16-2 x ²-y ² ² ² represente uma distribuição de temperatura no plano x y . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do pon