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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 23

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x , y = sin ⁡ x y ,   1,0

Passo 1

Oie, vou e ajudar a resolver essa atividade.

Dada a função:

f x , y = sin ⁡ x y

O problema pede para acharmos a derivada direcional máxima de f no ponto dado.

Primeiramente calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.

Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados. Dado que o vetor gradiente é:

∇ f x , y =   f x , f y

Para achar a taxa derivação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.

∇ f 1,0

Passo 2

Temos então que:

f x , y = sin ⁡ x y

Derivando em relação a x :

f x = y ⋅ cos ⁡ x y

Veja que em ambos os casos precisamos aplicar a regra da cadeia:

f y = x ⋅ cos ⁡ x y

Então o nosso gradiente é:

∇ f x , y =   f x , f y =   y c o s x y , x c o s ( x y )

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f 1,0 = 0,1

Calculando o modulo:

∇ f ( 1,0 ) =   0 2 + 1 2 = 1

Temos então a taxa de variação máxima:

1

E ocorre na direção:

∇ f 1,0 = 0,1

Resposta

Temos então a taxa de variação máxima:

1

E ocorre na direção:

∇ f 1,0 = 0,1

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