Enunciado

  1. Mostrar que uma função diferenciável f diminui mais rapidamente em x na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de - ∇ f x
  2. Use o resultado da parte (a) para encontrar a direção qual a função f x , y = x 4 y - x 2 y 3 decresce mais rapidamente no ponto 2 , - 3

Passo 1

Oie, meu amigão. Pronto para mais um dia de aprendizado?

Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje. Aqui precisaremos analisar a equação da derivada direcional:

D u f = ∇ f ⋅ u

Para que possamos provar o que nos é pedido. A prova é dada analisando a versão com a direção θ do direcional:

D u f = ∇ f ⋅ cos ⁡ θ

Já na letra b), iremos então utilizar o resultado da letra a) para encontrar a direção que a função:

x , y = x 4 y - x 2 y 3

Decresce mais rapidamente, no ponto 2 , - 3 .

Passo 2

  1. A derivada direcional é dada por:

D u f =   ∇ f x , y ⋅ cos ⁡ θ

Quando cos ⁡ θ for mínimo, o decrescimento ocorrerá mais rapidamente. Assim,

D u f =   ∇ f x , y ⋅ - 1

D u f =   - ∇ f

Como podemos ver, para cos ⁡ θ = - 1 temos θ = π , que representa u (vetor unitário) na direção oposta.

b)Sabemos que a função é dada por:

x , y = x 4 y - x 2 y 3

Então vamos atrás do seu gradiente:

Derivando em relação a x :

f x = 4 x ³ y - 2 x y ³

Agora em relação a y :

f y = x 4 - 3 x ² y ²

Nosso gradiente é então:

∇ f x , y =   f x , f y =   4 x ³ y - 2 x y 3 , x 4 - 3 x ² y ²

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f 2 , - 3 = 12 , - 92

Como a direção é oposta ao vetor gradiente:

- ∇ f = - 12,92  

Resposta

  1. Ver o desenvolvimento;

D u f 2 , - 3 = - 12,92

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