Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 27
- Mostrar que uma função diferenciável f diminui mais rapidamente em x na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de
- Use o resultado da parte (a) para encontrar a direção qual a função decresce mais rapidamente no ponto
Passo 1
Oie, meu amigão. Pronto para mais um dia de aprendizado?
Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje. Aqui precisaremos analisar a equação da derivada direcional:
Para que possamos provar o que nos é pedido. A prova é dada analisando a versão com a direção do direcional:
Já na letra b), iremos então utilizar o resultado da letra a) para encontrar a direção que a função:
Decresce mais rapidamente, no ponto .
Passo 2
- A derivada direcional é dada por:
Quando for mínimo, o decrescimento ocorrerá mais rapidamente. Assim,
Como podemos ver, para temos que representa (vetor unitário) na direção oposta.
b)Sabemos que a função é dada por:
Então vamos atrás do seu gradiente:
Derivando em relação a :
Agora em relação a :
Nosso gradiente é então:
Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:
Como a direção é oposta ao vetor gradiente:
Resposta
- Ver o desenvolvimento;