Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 28
Determine as direções em que a derivada direcional de no ponto tem valor .
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
O problema nos pede para encontrar em quais direções a função
Têm derivada direcional igual a no ponto .
Tem ideia de como fazemos isso?
Primeiramente encontramos as derivadas parciais das coordenadas, depois achamos o vetor gradiente pela fórmula:
A partir desse vetor, calculamos a derivada direcional pela formulinha:
Onde é o vetor direção do vetor.
Veja só!
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais de .
Pela regra da cadeia, temos:
Já pela regra do produto e pela regra da cadeia:
Montando o vetor gradiente de , temos:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Aplicando o ponto no vetor gradiente, vamos obter:
Por último, substituindo na equação da derivada direcional, lembrando que estamos interessados apenas em , como dado no enunciado:
Portanto, o conjunto de direções que satisfazem nossa solução é dada pela equação:
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
quando a derivada direcional for .