Enunciado

Determine as direções em que a derivada direcional de f x , y = y e - x y no ponto 0 ,   2 tem valor 1 .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

O problema nos pede para encontrar em quais direções a função

f x , y = y e - x y

Têm derivada direcional igual a 1 no ponto 0,2 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Primeiramente encontramos as derivadas parciais das coordenadas, depois achamos o vetor gradiente pela fórmula:

∇ f x , y =   f x , f y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

A partir desse vetor, calculamos a derivada direcional pela formulinha:

D u f x , y = ∇ f x , y · u

Onde u é o vetor direção do vetor.

Veja só!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de f .

Pela regra da cadeia, temos:

f x = ∂ y e - x y ∂ x = ∂ y e u ∂ u · ∂ - x y ∂ x

f x = - y ² e - x y

Já pela regra do produto e pela regra da cadeia:

f y = ∂ y ∂ x · e - x y + y · ∂ e - x y ∂ x

f y = e - x y - x y e - x y

Montando o vetor gradiente de f , temos:

∇ f x , y = f x , f y = - y 2 e - x y , e - x y - x y e - x y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Aplicando o ponto 0,2 no vetor gradiente, vamos obter:

∇ f 0 , 2 = - 2 2 e - 0 2 , e - 0 2 - 0 2 e - 0 2

∇ f 0,2 = - 4 , 1

Por último, substituindo na equação da derivada direcional, lembrando que estamos interessados apenas em D u f = 1 , como dado no enunciado:

D u f x , y = ∇ f x , y · u

1 = - 4 , 1 · x , y

1 = - 4 x + y

Portanto, o conjunto de direções que satisfazem nossa solução é dada pela equação:

1 = - 4 x + y

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

- 4 x + y = 1 quando a derivada direcional for 1 .

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