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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 30

Perto de uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas x , y é z = 200 + 0.02 x 2 - 0.001 y 3 , onde x ,   y e z são medido em metros. Um pescador em um pequeno barco começa no ponto 80,60 e se move em direção à boia, que está localizada em 0,0 . A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele parte? Explicar

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade meu querido amigo.

Neste exercício, precisamos calcular se a água na boia aumenta ou diminui na direção dada.

Primeiro, vamos calcular a derivada da função dada na direção dada e ver se ela é positiva ou negativa. Se ela for positiva existe um crescimento de z e se ficar negativa z fica menor.

Para encontrar a derivada da função dada na direção, vamos calcular o gradiente da função dada no ponto dado. Em seguida, calculamos o produto ponto com o vetor de unidade calculado.

Veja que precisaremo então da derivada direcional:

D u f =   ∇ f x , y ⋅ u

Em que ∇ f é o gradiente da função e é dada por:

∇ f = f x , f y , f z

E u é o vetor unitário do ponto 80,60 até 0,0 .

Passo 2

Temos que:

f x , y = 200 + 0.02 x 2 - 0.001 y 2

Vamos encontrar as derivadas parciais:

f x = 0,04 x

f y = - 0,003 y ²

Então nosso gradiente é:

∇ f x , y =   f x , f y

∇ f x , y = 0 . 04 x , - 0,003 y 2

Colocando o ponto que estamos trabalhando:

∇ f 80,60 = 3 . 2 ,   - 10,8

Para achar o vetor u :

u = v v = 1 100 80,60 = 4 5 , 3 5

Agora a gente encontra a derivada direcional:

D u f =   ��� f 80,60 ⋅ 4 5 , 3 5 = 3,92

Como D u f > 0 , temos que a profundidade está aumentando na direção da bola.

Resposta

A profundidade está aumentando na direção da bola.

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