Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 25
Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma função e um vetor, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima dessa função e sua direção. Como nós podemos fazer isso?
Bom, para achar a taxa variação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.
Assim, primeiramente nós calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.
Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados.
E por ultimo iremos calcular o modulo do gradiente:
Vamos lá!
Passo 2
Calculando as derivadas parciais da função , temos:
Em relação a , preciamos utilizar a regra da cadeia aqui:
Teremos então:
Em relação a . Iremos derivar de forma semelhante:
Em relação a :
Juntando tudo, temos:
Passo 3
Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:
Dessa forma, taxa de variação máxima de no ponto dado é:
Na direção do vetor .
Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉