Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 25

Determine a taxa de variação máxima de no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função e um vetor, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima dessa função e sua direção. Como nós podemos fazer isso?

Bom, para achar a taxa variação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.

Assim, primeiramente nós calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.

Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados.

E por ultimo iremos calcular o modulo do gradiente:

Vamos lá!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais da função , temos:

Em relação a , preciamos utilizar a regra da cadeia aqui:

Teremos então:

Em relação a . Iremos derivar de forma semelhante:

Em relação a :

Juntando tudo, temos:

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

Dessa forma, taxa de variação máxima de no ponto dado é:

Na direção do vetor .

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

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Usando o gradiente, encontrar uma equação para a reta tangente à curva x 2 - y 2 = 1 , no ponto ( 2 , 1 ) .

Encontrar o vetor intensidade elétrica E → = - g r a dV a partir da função potencial V , no ponto indicado. V = x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 ; P 1 ,2 ,- 2

Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados: f x ,y = a r c t g y x ; P 0 ( - 1 ,1 )

Dada a função w = x 2 + y 2 + z 2 , determinar sua derivada direcional no ponto P 1 ,1 ,2 , na direção da normal exterior à superfície z 2 = x 2 + y 2 em P .

Um potencial elétrico é dado por V = 10 x 2 + y 2 + z 2 . Determinar o campo elétrico, representando-o graficamente.