Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 ,                 ( 3 ,   6 ,   - 2 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f e um vetor, e nos pediu para determinar a taxa de variação máxima dessa função e sua direção. Como nós podemos fazer isso?

Bom, para achar a taxa variação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente.

Assim, primeiramente nós calculamos as derivadas parciais das coordenadas, com isso podemos montar a regra geral do vetor gradiente.

Depois, substituímos as coordenadas pelos valores dos pontos dados.

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z

E por ultimo iremos calcular o modulo do gradiente:

∇ f

Vamos lá!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais da função f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 , temos:

Em relação a x , preciamos utilizar a regra da cadeia aqui:

f x = g x ' ⋅ x 2 + y 2 + z 2 '

Teremos então:

f x = x ( x 2 + y 2 + z 2 )

Em relação a y . Iremos derivar de forma semelhante:

f y = g y ' ⋅ x 2 + y 2 + z 2 '

f y = y ( x 2 + y 2 + z 2 )

Em relação a z :

f z = g z ' ⋅ x 2 + y 2 + z 2 '

f z = z √ ( x 2 + y 2 + z 2 )

Juntando tudo, temos:

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z =   x ( x 2 + y 2 + z 2 ) , y ( x 2 + y 2 + z 2 ) , z ( x 2 + y 2 + z 2 )

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f 3,6 , - 2 = 3 7 , 6 7 , - 2 7

Dessa forma, taxa de variação máxima de f no ponto dado é:

∇ f 3,6 , - 2 =   3 7 2 + 6 7 2 + - 2 7 2

∇ f 3,6 , - 2 = 1

Na direção do vetor 3 ,   6 ,   - 2 .

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

∇ f ( 3,6 , - 2 ) = 1 ,     3 ,   6 ,   - 2

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