Reta Normal
Teoria
Fala aí! Hoje vamos aprender um pouquinho sobre a reta normal para casos com funções de várias variáveis.
Se você caiu aqui de paraquedas e na verdade tá querendo aprender sobre reta tangente e normal a uma curva, fica tranquilo que eu já tenho esse conteúdo separadinho pra você 😉 É o primeiro link aqui embaixo 👇
⭐ Veja também ⭐
- Equação da Reta Tangente e da Reta Normal à curva.
- Introdução às funções de várias variáveis.
- Derivadas parciais.
- Vetor gradiente.
Equação da Reta Normal
Então, vamos logo ao que interessa: a equação da reta normal à superfície depende do gradiente da função.
Olha só, se o vetor gradiente é perpendicular, ou normal, à superfície, logicamente ele está na direção da reta normal. Concorda?
Por isso, é importante você estar dominando o cálculo do gradiente de uma função multivariável daqui pra frente, pois é esse cara mesmo que vamos usar 😬
Vou te mostrar como encontramos a equação da reta normal a partir de um exemplo, se liga 👇
Exemplo: Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função abaixo no ponto
Vou deixar esse vídeo aqui com a resolução bem explicadinha, caso você prefira. Senão, segue comigo no texto logo abaixo 👇
Passo 1: Trocar
O primeiro passo é chamar
Passo 2: Passar todas as variáveis para o lado esquerdo da equação.
Vamos deixar tudo do lado do
Teoricamente, a gente tem uma função de
Passo 3: Calcular o gradiente de
O gradiente é dado pelas derivadas parciais, né?
Passo 4: Calcular o gradiente de
Esse
E o que isso aí quer dizer?
Lembra que eu mencionei a relação entre vetor gradiente e reta normal? Isso quer dizer que já conhecemos nosso vetor normal
Passo 5: Substituir
A equação parametrizada da reta é:
Substituindo os valores, a gente fica com:
Belezinha?
Como saber se uma reta é normal ao plano?
Galera, qualquer tipo de pergunta desse tipo:
“Determine se a reta é normal ao plano”
Ou
“Determine as coordenadas do ponto em que a reta normal é de tal forma”
vai sempre voltar nesse passo a passo. O que muda é só o que você vai ter que substituir na fórmula.
Por exemplo, se a gente quisesse as coordenadas do ponto
Tranquilo, né?
Como saber se uma reta é normal ao plano?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF, Cálculo 2B, Professor Rodrigo Salomão, P1, questão 1, item e
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
A reta normal ao gráfico da função
Em , é dada por , .
Passo 1
Bom, pra gente saber se essa afirmação é verdadeira ou não, temos que calcular a reta normal a superfície que é gráfico dessa função.
Vamos lá então!
Passo 1: Encontrar o ponto da superfície:
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Agora só falta substituir nas equações da reta:
Logo, a afirmação é verdadeira!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Cálculo 2, PF 2014.2, questão múltipla escolha 7
A reta normal à superfície no ponto intercepta o plano no ponto :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Precisamos encontrar as equações paramétricas da reta normal e depois igualar a componente a zero, para descobrir onde a reta intercepta o plano .
Passo 1: Encontrar o ponto da superfície:
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é, próximo passo!
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Substituir nas equações da reta:
Essa é a nossa reta normal a superfície.
Passo 9
Agora ele quer saber em que ponto essa reta intercepta o plano .
De boa, temos
Uhul, estamos quase acabando! Substituindo na equação da reta:
Resposta
Alternativa (e)
Exercício Resolvido #3
Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação
No qual a reta normal é perpendicular ao plano
Passo 1
Se a reta normal é perpendicular ao plano que foi dado, então esse plano é o plano tangente a superfície. Precisamos achar o vetor normal às duas superfícies e então compara-los, isso porque eles são proporcionais, vou chegar a isso mais tarde.
Começando pela superfície!!
Passo 1: Encontrar o ponto
O ponto é desconhecido, vamos pegar um ponto genérico.
Passo 2
Passo 2: Encontrar o vetor (que é o vetor gradiente):
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de :
Passo 6
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 7
O vetor normal será :
Passo 8
Vamos agora para o vetor normal ao plano dado.
Calculando gradiente:
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Não é necessário! Próximo passo!
Passo 9
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 10
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 11
Calcular gradiente de :
Passo 12
Calcular gradiente de no ponto :
Passo 13
O vetor normal será :
Passo 14
Vamos ver agora o que significa eles serem proporcionais. Seria dizer que temos um que faz o seguinte papel
Sacou? Não faz diferença colocar na direita ou na esquerda.
Isso dos diz que
Passo 15
Mas o que fazer com isso?
Lembra que o ponto pertence a superfície que ele deu? Isso nos diz que
Vamos trocar cada valor pela relação com e encontrar , as relações são
Substituindo isso na equação da curva vai ser
Igualando os denominadores
Passo 16
Beleza mas qual ? Lembra láááááá no enunciado que ele falava que precisa estar no primeiro octante? Isso diz que todas as componentes do ponto precisam ser positivas.
Dessa forma só podemos ter , isso diz que os pontos é
O ponto vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFRJ, Cálculo 2, P2 2008.2, questão 1, item b.
Considere a função definida por
E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.
Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
Encontrar o ponto da superfície:
O ponto é conhecido e dado pelo problema:
Passo 2
Encontrar o vetor :
Caso seja necessário, substituir por na equação da superfície:
Passo 3
Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:
Passo 4
Chamar de a expressão deixada no lado esquerdo da equação:
Passo 5
Calcular gradiente de : :
Calculando :
Regra do quociente:
Passo 6
Calculando :
Regra do quociente:
Passo 7
Calculando :
Passo 8
Calculando gradiente :
Passo 9
Calcular gradiente de no ponto : :
Passo 10
O vetor normal será :
Passo 11
Substituir e na equação da reta:
Resposta
Exercício Resolvido #5
USP, Cálculo 2, P3 2010, questão 1.
A reta é normal ao cone de equação num ponto e é, também, normal ao elipsoide de equação no ponto .
a) Determine uma equação da reta .
b) Determine as coordenadas do ponto .
Passo 1
Se a reta é normal ao elipsoide, então ela tem vetor diretor múltiplo do vetor gradiente dele! Então, o primeiro passo é derivar a equação do elipsoide e ver que gradiente é esse:
E, agora, só precisamos colocar o ponto no qual a reta passa, :
Passo 2
Show! Agora que temos o vetor diretor da reta e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos parametriza-la por:
Essa primeira foi simples, né?
Passo 3
Agora vamos descobrir que ponto é esse? Bom, a reta passar de maneira perpendicular pelo cone também, certo? Então também tem direção paralela ao vetor gradiente do cone! Isso vai ser útil, então, calculemos o gradiente dele!
Aí está o vetor gradiente :)
Passo 4
Agora, pensemos o seguinte, o ponto está na reta, certo? Então ele será sempre dado pela equação da própria, por um parâmetro em específico! Então, temos que:
Colocando o ponto no vetor gradiente, teremos:
Passo 5
Estamos quase!! Agora, que outra informação nós temos ainda? Sabemos que esse vetor gradiente é paralelo ao vetor diretor da reta, que é ! Isso significa que esses dois vetores são múltiplos:
Assim, temos o sistema:
Que tem duas equações e duas incógnitas.
Podemos isolar o na ultima equação:
E substituir na primeira:
Substituindo esse valor para o parâmetro em , temos:
Resposta
a)
b)