Enunciado

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

y = x 2 - z 2

4,7 , 3

Passo 1

Eaeee, tudo certinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

y = x 2 - z 2

Queremos calcular uma equação do plano tangente e da reta normal dessa superfície no ponto 4,7 , 3 .

Para isso, vamos primeiro interpretar que a nossa função é a seguinte:

F x , y , z = x 2 - y - z 2

Obs: vamos tratar a equação que nos foi dada como uma curva de nível de F .

Assim, sabemos que a equação geral do plano tangente é dada por:

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a equação da reta normal é dada por:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos calcular as derivadas parciais de F .

F x = ∂ ∂ x x 2 - y - z 2

F x = 2 x

De forma análoga, podemos resolver as demais derivadas parciais:

F y = ∂ ∂ y x 2 - y - z 2 ∴

F y = - 1

E, por fim:

F z = ∂ ∂ z x 2 - y - z 2 ∴

F z = - 2 z

Passo 3

Aplicando o ponto 4,7 , 3 nas derivadas parciais, começando para a derivada em x , obtemos:

F x 4,7 , 3 = 2 ⋅ 4 = 8

Na derivada y :

F y 4,7 , 3 = - 1

Na derivada z :

F z 4,7 , 3 = - 2 ⋅ 3 = - 6

Passo 4

Agora podemos calcular a equação do plano tangente, que é dada por:

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

Adaptando para o nosso caso, temos:

F x 4,7 , 3 x - 4 + F y 4,7 , 3 y - 7 + F z 4,7 , 3 z - 3 = 0

Substituindo pelos termos que calculamos no passo anterior, temos:

8 x - 4 - 1 y - 7 - 6 z - 3 = 0

Simplificando os termos:

8 x - 32 - y + 7 - 6 z + 18 = 0 ∴

8 x - y - 6 z = 7

Passo 5

Agora, para calcular a reta normal, sabemos que ela tem a seguinte característica:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Adaptando para o nosso caso:

x - 4 F x 4,7 , 3 = y - 7 F y 4,7 , 3 = z - 3 F z 4,7 , 3

Substituindo pelos valores que encontramos no Passo 2:

x - 4 8 = y - 7 - 1 = z - 3 - 6

Resposta

  1. 8 x - y - 6 z = 7
  2. x - 4 8 = y - 7 - 1 = z - 3 - 6
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use um computador para desenhar a superfície, do plano tangente e da reta normal na mesma tela. Escolha o domínio cuidadosamente para evitar planos verticais estranhos. Escolha um ponto de vista que p
Mostre que toda reta normal a esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 passa através do centro da esfera.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x , y = arctg ⁡ x - 2 ye m2 , 1 2 , f 2 , 1 2
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x , y = 3 x 3 y - x ye m1 , - 1 , f 1 , - 1