Enunciado

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x - z = 4   a r c t g y z

1 + π ,   1 ,   1

Passo 1

Opa galerinha!!! Tudo bem??? Seguinte... O enunciado nos deu a seguinte expressão:

x - z = 4   a r c t g y z

Com isso, queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto 1 + π ,   1 ,   1 .

Para isso, primeiramente temos que calcular as derivadas parciais da função.

Assim, temos que lembrar que a equação do plano tangente tem o seguinte formato:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a reta normal a gente encontra utilizando a seguinte equação:

x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0

Mas a questão nos deu uma expressão e não uma função. E agora???

É simples!! Basta passarmos todo mundo para um lado e transformar em função, veja:

x - z = 4   a r c t g y z ∴

x - z - 4   a r c t g y z = 0 ∴

f x , y , z = x - z - 4   a r c t g y z

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.

Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.

É interessante a gente lembrar que a derivada do arco tangente é dada da seguinte forma:

a r c t g u ' = 1 u 2 + 1

Com isso, aplicando a Regra da Cadeia, temos que a derivada em relação a x é dada por:

f x = ∂ ∂ x   x - z - 4   a r c t g y z ∴

f x = ∂ ∂ x x - 0 - 0 ∴

f x = 1

De forma análoga, temos que a derivada em relação a y é dada por:

f y = ∂ ∂ y x - z - 4   a r c t g y z ∴

f y = 0 - 0 - 4 ∂ ∂ y a r c t g y z ∴

f y = - 4 z z 2 y 2 + 1

E a derivada com relação a z é dada da seguinte forma:

f z = ∂ ∂ z x - z - 4   a r c t g y z ∴

f z = 0 - ∂ ∂ z z - 4 ∂ ∂ z a r c t g y z ∴

f z = - 1 - 4 z z 2 y 2 + 1

Passo 3

Agora vamos aplicar o ponto 1 + π ,   1 ,   1 nas derivadas.

Para a derivada f x :

f x 1 + π ,   1 ,   1 = 1

Para a derivada f y :

f y 1 + π ,   1 ,   1 = - 4 ⋅ 1 1 2 ⋅ 1 2 + 1 ∴

f y 1 + π ,   1 ,   1 = - 2

E, para a derivada f z , temos:

f z 1 + π ,   1 ,   1 = - 1 - 4 ⋅ 1 1 2 ⋅ 1 2 + 1 ∴

f z 1 + π ,   1 ,   1 = - 3

Passo 4

Com isso, substituindo na fórmula do plano tangente, temos:

∂ f ∂ x 1 + π ,   1 ,   1 x - 1 + π + ∂ f ∂ y 1 + π ,   1 ,   1 y - 1 + ∂ f ∂ z 1 + π ,   1 ,   1 z - 1 = 0 ∴

1 ⋅ x - 1 + π - 2 ⋅ y - 1 - 3 ⋅ z - 1 = 0 ∴

x - 2 y - 3 z = - 4 + π

Passo 5

E, substituindo na expressão da reta normal, obtemos:

x - x 0 ∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 ∴

x - 1 - π 1 =   - y - 1 2 =   z - 1 - 3

Resposta

x - 2 y - 3 z = - 4 + π

x - 1 - π 1 =   - y - 1 2 =   z - 1 - 3

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