Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 42
Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
Opa galerinha!!! Tudo bem??? Seguinte... O enunciado nos deu a seguinte expressão:
Com isso, queremos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal à superfície dada no ponto .
Para isso, primeiramente temos que calcular as derivadas parciais da função.
Assim, temos que lembrar que a equação do plano tangente tem o seguinte formato:
E a reta normal a gente encontra utilizando a seguinte equação:
Mas a questão nos deu uma expressão e não uma função. E agora???
É simples!! Basta passarmos todo mundo para um lado e transformar em função, veja:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.
Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.
É interessante a gente lembrar que a derivada do arco tangente é dada da seguinte forma:
Com isso, aplicando a Regra da Cadeia, temos que a derivada em relação a é dada por:
De forma análoga, temos que a derivada em relação a é dada por:
E a derivada com relação a é dada da seguinte forma:
Passo 3
Agora vamos aplicar o ponto nas derivadas.
Para a derivada :
Para a derivada :
E, para a derivada , temos:
Passo 4
Com isso, substituindo na fórmula do plano tangente, temos:
Passo 5
E, substituindo na expressão da reta normal, obtemos: