Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 41
Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
Oiii, tudo certinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos calcular uma equação do plano tangente e da reta normal dessa superfície no ponto .
Para isso, vamos primeiro interpretar que a nossa função é a seguinte:
Obs: vamos tratar a equação que nos foi dada como uma curva de nível de .
Assim, sabemos que a equação geral do plano tangente é dada por:
E a equação da reta normal é dada por:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiramente vamos calcular as derivadas parciais de .
Resolvendo pela Regra da Cadeia, obtemos:
De forma análoga, podemos resolver as demais derivadas parciais:
E, por fim:
Passo 3
Aplicando o ponto nas derivadas parciais, começando para a derivada em , obtemos:
Na derivada :
Na derivada :
Passo 4
Agora podemos calcular a equação do plano tangente, que é dada por:
Adaptando para o nosso caso, temos:
Substituindo pelos termos que calculamos no passo anterior, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, para calcular a reta normal, sabemos que ela tem a seguinte característica:
Adaptando para o nosso caso:
Substituindo pelos valores que encontramos no Passo 2:
Simplificando, temos: