Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

2 * (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 10

(3.3, 5)

Passo 1

Oiii, tudo certinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

2 x - 2 2 + y - 1 2 + z - 3 2 = 10

Queremos calcular uma equação do plano tangente e da reta normal dessa superfície no ponto 3,3 , 5 .

Para isso, vamos primeiro interpretar que a nossa função é a seguinte:

F x , y , z = 2 x - 2 2 + y - 1 2 + z - 3 2

Obs: vamos tratar a equação que nos foi dada como uma curva de nível de F .

Assim, sabemos que a equação geral do plano tangente é dada por:

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a equação da reta normal é dada por:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos calcular as derivadas parciais de F .

F x = 2 ∂ ∂ x x - 2 2

Resolvendo pela Regra da Cadeia, obtemos:

F x = 4 x - 2

De forma análoga, podemos resolver as demais derivadas parciais:

F y = ∂ ∂ y y - 1 2 ∴

F y = 2 y - 1

E, por fim:

F z = ∂ ∂ z z - 3 2 ∴

F z = 2 z - 3

Passo 3

Aplicando o ponto 3,3 , 5 nas derivadas parciais, começando para a derivada em x , obtemos:

F x 3,3 , 5 = 4 3 - 2 = 4

Na derivada y :

F y 3,3 , 5 = 2 3 - 1 = 4

Na derivada z :

F z 3,3 , 5 = 2 5 - 3 = 4

Passo 4

Agora podemos calcular a equação do plano tangente, que é dada por:

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

Adaptando para o nosso caso, temos:

F x 3,3 , 5 x - 3 + F y 3,3 , 5 y - 3 + F z 3,3 , 5 z - 5 = 0

Substituindo pelos termos que calculamos no passo anterior, temos:

4 x - 3 + 4 y - 3 + 4 z - 5 = 0

Simplificando os termos:

4 x - 12 + 4 y - 12 + 4 z - 20 = 0 ∴

x + y + z = 11

Passo 5

Agora, para calcular a reta normal, sabemos que ela tem a seguinte característica:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Adaptando para o nosso caso:

x - 3 F x 3,3 , 5 = y - 3 F y 3,3 , 5 = z - 5 F z 3,3 , 5

Substituindo pelos valores que encontramos no Passo 2:

x - 3 4 = y - 3 4 = z - 5 4

Simplificando, temos:

x - 3 = y - 3 = z - 5

Resposta

  1. x + y + z = 11
  2. x - 3 = y - 3 = z - 5
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