Reta Tangente no R²
Teoria
Fala, galera!
Se liga nesse exemplo:
Encontre a equação da reta tangente a curva de nível da função no ponto .
Como faz para encontrar a reta tangente a uma curva de nível?
Ih complicou? Não tem ideia? Calma, vem comigo!
Calculando a reta tangente no
Temos que a equação paramétrica de uma reta pode ser:
A gente precisa de , um ponto que pertence a reta, e , um vetor na direção da reta, no nosso caso, um vetor tangente a nossa curva.
O exemplo já deu um ponto para gente. Como ele é o ponto de tangência, ele tem que pertencer a nossa reta, logo:
Agora precisamos descobrir . Mas como?
Lembra que uma das propriedades do vetor gradiente era ser normal à curva de nível?
Vamos calcular ele para o nosso exemplo:
Ele deu um ponto específico, então a gente substitui:
Você pode estar pensando: Mas por que estamos calculando um vetor normal a curva se a gente quer o vetor tangente, hein?
Bem, dá para achar o vetor tangente a uma curva tendo o vetor normal. Sabe que esses dois vetores são perpendiculares né? É só a gente lembrar que o produto escalar entre dois vetores normais é nulo.
Se a gente chamar :
Portanto:
Arbitrando um valor para , por exemplo temos:
Agora só falta montar a equação da reta tangente. Ela vai ser:
Agora vai um resuminho do que temos que fazer!
- A equação da reta paramétrica é
- Achar quem é
- Achar
- Achar no ponto
- Achar , para isso temos que fazer
- Substituir tudo na equação da reta paramétrica
Prontinho! Bora pros exercícios?
Calculando a reta tangente no R 2
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2014.2, questão 1, item f
Considere a função .
f) Considere a curva de nível . Exiba a equação paramétrica da reta tangente a no ponto .
Passo 1
f) Vamos lá, estão nos pedindo pra calcular a reta tangente à no ponto , sendo uma curva de nível de , certo? Então, encontraremos uma equação paramétrica para essa tangente dizendo que ela é perpendicular ao vetor gradiente de nesse mesmo ponto!
Show, vamos ver então qual é o vetor gradiente em ?
E, como esse vetor é perpendicular à superfície no ponto , com certeza é perpendicular à curva , que está na superfície!
Passo 2
Agora vem uma manha de vetores, que lembro que usei quando fiz o vestibular da PUC: para girar um vetor em , inverte as coordenadas do vetor, pega o resultado e muda o sinal da primeira.
Tá, e pra que falei isso? Porque se o vetor é perpendicular à curva, então o vetor perpendicular a ele será tangente à curva! É tipo pensar que o inimigo do seu inimigo é seu amigo XD
Então, girando o vetor em , temos o vetor . Coloquei esse menos aí na frente do pra você lembrar de trocar o sinal da primeira coordenada depois de ter invertido o vetor! Isso é bem importante! E aí conseguimos um vetor que é tangente à curva, e pode ser o vetor diretor da nossa reta tangente!
Tomando o vetor como vetor diretor, tudo o que temos que fazer é multiplicá-lo por um parâmetro e transladá-lo para o ponto de tangência:
Resposta
- Reta tangente:
Exercício Resolvido #2
PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 1, item f
Seja . Considere as curvas de nível
e
f) Encontre apenas um ponto de onde a reta tangente à neste ponto é paralela à reta . Dica: Levem em conta que é solução da equação e é solução de
Passo 1
f) Primeiro, é bom parametrizarmos a reta , para visualizar mais facilmente seu vetor diretor :) Isolando o , teremos:
Usando o como parâmetro, teremos a reta
Como o vetor diretor da reta é aquele formado pelos coeficientes do parâmetro em cada coordenada, então o vetor diretor dessa reta é o , show?
Sabemos que o vetor gradiente é normal à curva de nível, logo, é normal ao vetor tangente à essa curva. Assim, o que querermos é encontrar o ponto no qual o vetor gradiente é paralelo ao vetor normal de , então esse será o ponto no qual o vetor tangente é paralelo ao vetor !
Para encontrar o vetor normal do vetor , basta fazer o produto interno entre eles e igualar a zero.
Fica assim:
Ajeitando:
Então temos:
Escolhendo um valor qualquer para temos:
Chegamos então que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor
Passo 2
Ok, agora que sabemos que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor , podemos escrever que:
Ou seja, um é múltiplo do outro. Calculando o vetor gradiente da nossa função:
Igualando cada coordenada, temos:
Da segunda, temos que . Colocando isso na primeira, teremos:
Agora, podemos colocar essa relação na equação da curva de nível, e teremos:
E aí você me pergunta, qual é a solução dessa equação?! E eu digo: ainda bem que foi dada no enunciado! Falando sério, zoaram essa questão... nada nem um pouco intuitivo o.O
Mas vamos lá, o enunciado diz que podemos usar que é uma solução dessa equação, então a gente acredita. Substituindo-se na equação , teremos:
E, portanto, e o ponto pedido é !
Ufa! Demorou mas acabou!
Resposta
f) O ponto é