Teorema De Weiestrass
Teoria
Fala aí! Hoje vamos aprender sobre o Teorema de Weierstrass.
Por mais que esse negócio aí pareça nome de cerveja 🍻, não se engana não! Esse teorema vai ser usado pra descobrirmos se uma função tem pontos críticos em determinado conjunto.
Melhor que cerveja, né? ☺️
⭐ Veja também ⭐
- Introdução às funções de várias variáveis.
- Domínio de funções de várias variáveis.
- Limites de funções de várias variáveis.
O que diz o Teorema de Weierstrass?
O Teorema de Weierstrass, também conhecido como Teorema dos Valores Extremos, diz de maneira bem objetiva:
Se
Tranquilo, né?
Só repara que esse teorema vai nos contar se a função tem ou não os máximos e mínimos dentro do intervalo, mas ele não nos conta quem são esses caras!!!
Isso aí é uma maneira bem mais simples de saber se a função tem valores extremos do que ficar fazendo teste da primeira derivada. Quer ver como?
Como usar o Teorema de Weierstrass?
Para saber se uma função
- Verificar se a função é contínua.
- Verificar se o intervalo é fechado.
- Verificar se o intervalo é limitado.
Só isso!
Se liga no exemplo pra deixar tudo mais claro 👇
Exemplo: Verifique se
Passo 1: Verificar se
Começamos vendo se a função é contínua. Fazemos isso por meio do limite:
Essa aí é a definição formal pra verificar se uma função é contínua.
Mas a gente não tá ligando muito pra formalidade não, né? Se liga, como
Passo 2: Verificar se
Para verificar se um conjunto é fechado, devemos observar se ele contém sua própria fronteira.
Como assim?
Na prática é só verificar se a equação que o define tem um sinal de
É muito importante que tenha aquele tracinho embaixo ali, viu? Se for só
Aqui, nosso conjunto é fechado.
Passo 3: Verificar se
Um conjunto limitado é aquele que não vai para o infinito, ou seja, ele tá sempre contido em algum outro conjunto.
Aqui no nosso exemplo, a gente tem um conjunto com equação
Então, nosso conjunto é limitado por qualquer outro círculo de raio maior!
Então a gente já pode concluir pelo Teorema de Weierstrass que a função possui máximos e mínimos dentro de
Ponto extra se você calcular esses caras 😉
Exemplo: Verifique se possui máximos e mínimos globais dentro de .
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
O que podemos afirmar sobre a existência de valores extremos da função
No conjunto ?
Passo 1
Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:
Começamos verificando a continuidade da função
É uma função composta por funções contínuas (funções polinomiais), e portanto é contínua em todo .
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:
Que é o interior e a fronteira da circunferência de raio e centro em . Como a região contém a sua fronteira ela é fechada.
Passo 3
Verificar se o conjunto é limitado. Já vimos que a região é o interior e a fronteira da circunferência de raio e centro em .
Então, basta imaginar-mos uma círculo com centro em e um raio grande, por exemplo, para garantir que o conjunto está totalmente contido nesse conjunto. Logo a região é limitada.
Como todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas, podemos afirmar a existência de máximos e mínimos globais de no conjunto
Resposta
Podemos afirmar a existência de valores extremos da função no conjunto .
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Podemos garantir que o problema de maximização da função :
Sujeito as restrições , tem solução?
Passo 1
Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:
Começamos verificando a continuidade da função
Perceba que o argumento da função está definido para todo . Além disso, a função seno é contínua em seu domínio. Logo a função é contínua em todo .
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Podemos reescrevê-lo como sendo:
Que é o interior de um quadrado, porém não contendo a fronteira, ou seja, seus lados. Logo a função não é fechada.
Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.
Resposta
Não podemos usar o Teorema de Weiertrass para garantir a solução do problema de maximização.
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Podemos garantir que o problema de minimização da função :
Sujeito as restrições , tem solução?
Passo 1
Vamos ver se todas as condições do teorema de Weierstrass são satisfeitas:
Começamos verificando a continuidade da função
É uma função exponencial, então é contínua em todo .
Passo 2
Vamos verificar se o conjunto dado é fechado. Perceba que:
Compreende a casca cilíndrica e o interior do cilindro circular. Logo, como o conjunto contém a sua fronteira (casca cilíndrica), o conjunto é fechado.
Passo 3
Verificar se o conjunto é limitado. Basta pensar em uma esfera com centro em e comum raio suficientemente grande como . Podemos afirmar que o conjunto
Se encontra totalmente dentro dessa esfera. Logo o conjunto é limitado.
Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.
Resposta
Como as condições do Teorema de Weierstrass foram satisfeitas, podemos afirmar que esse problema tem solução.