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Multiplicadores de Lagrange

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre multiplicadores de Lagrange. Vamos entender como usar isso aí pra calcular máximos e mínimos de uma função de várias variáveis logo com um exercício resolvido bem passo a passo.

Tá preparado? Então vem comigo! 😁

Ah, se você preferir, pode assistir esse vídeo maravilhoso aqui com tudo bem explicadinho pra você! Senão, segue comigo no textinho logo depois 👇

⭐ Veja também ⭐

Método dos Multiplicadores de Lagrange

Vamos começar com uma funçãozinha básica de duas variáveis, depois usamos o que vamos aprender aqui pra entender o método pra funções com mais variáveis, beleza?

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos de duas informações: a função que queremos maximizar ou minimizar e uma restrição do tipo

Essa restrição é muito importante, porque a ideia aqui vai ser encontrar os pontos nos quais os vetores gradiente de e sejam paralelos. Quer dizer que vamos procurar o máximo ou mínimo de somente em cima da curva , e não em todo o seu domínio!

Então, vamos prosseguir assim: para encontrar os pontos de máximo e mínimo de , temos que resolver a seguinte equação:

Aquele que apareceu ali é chamado de multiplicador de Lagrange.

Bora ver como funciona tudo isso aí na prática?

Exemplo: Determine os pontos de máximo e mínimo de em .

Olha só, o que essa questão tá pedindo é que a gente maximize a função , de gráfico:

Gráfico da função
Gráfico da função 

Mas a gente só vai analisar os valores de entrada que também satisfazem à equação , que tem esse gráfico aqui:

Gráfico da equação
Gráfico da equação

No fundo, o que a gente quer saber é quais valores desse círculo aí nos leva ao maior valor de . E vamos fazer isso assim:

Passo 1: Calcular os gradientes de e .

Nossa função é . Pra calcular o gradiente disso aí, vamos calcular suas derivadas parciais.

Calculando isso aí, temos:

Agora para . Mas quem é esse cara?

Ora, só pode ser a outra expressão que o enunciado mencionou, né? Mas antes, a gente tem que arrumar para que o lado direito da equação seja zero, já que nossa restrição tem que ser do tipo .

Agora sim, podemos calcular o gradiente com as derivadas parciais:

Passo 2: Usar o multiplicador de Lagrange.

Aqui, vamos aplicar aquela fórmula:

Passo 3: Igualar as coordenadas e montar um sisteminha.

É só pegar o termo relativo à coordenada do lado esquerdo e igualar àquela do lado direito (sem esquecer daquele em evidência ali).

Pra completar esse sistema, falta uma equação, já que temos três variáveis (, e ). Vamos usar a própria equação da .

Passo 4: Resolver o sistema.

Das duas primeiras equações, a gente tira que , já que e também.

A gente pode substituir um dos dois na terceira equação:

Logo, como :

Passo 4: Encontrar o verdadeiro máximo ou mínimo.

Se a gente tivesse encontrado só um valor para e um para , já teria matado o exercício ali. Mas a gente encontrou dois para cada, então temos quatro combinações possíveis!

Para saber qual é o ponto de máximo e qual é o de mínimo, temos que substituir na expressão de e analisar os valores obtidos.

Lembrando que:

Desses aí, é o menor, é o maior e só tão de intrometidos ali no meio mesmo!

Método de Lagrange para funções com mais de duas variáveis

Para funções com mais de duas variáveis, o processo vai ser bem parecido.

A diferença é que, para o caso de três variáveis, por exemplo, a restrição deixa de ser uma curva e passa a ser uma superfície!

Se liga no exemplo 👇

Exemplo: Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de na esfera .

Intimidante ver funções desse tamanho, né? Mas fica tranquilo, vamos seguir o mesmo passo a passo!

Nossas funções são:

Depois que calcularmos os gradientes de cada uma e aplicarmos o multiplicador de Lagrange, vamos chegar no seguinte sistema:

É só resolver isso aí e partir pro abraço!

Pra te poupar dos cálculos, deixei a resolução detalhada lá no exercício de fixação número 10, beleza? 😉

Exemplo: Determine os pontos de máximo e mínimo de em .

Método de Lagrange para funções com mais de duas variáveis

Exemplo: Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de na esfera .

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine o ponto da reta x + 2 y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

Passo 1

A função a ser maximizada é o produto das coordenadas, ou seja:

f x , y = x y

Passo 2

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Fazendo as derivadas parciais, vamos ter

∇ f x , y = y ,   x

Passo 3

Pegar equação da reta e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da curva:

x + 2 y = 1

⇒ x + 2 y - 1 = 0

Passo 4

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = x + 2 y - 1

Passo 5

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 1 ,   2

Passo 6

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ y ,   x = λ 1 ,   2

Passo 7

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

y = λ 1   x = λ 2

Passo 8

Adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: x + 2 y = 1

y = λ   x = 2 λ   x + 2 y = 1

Passo 9

Resolver o sistema:

Pelas duas primeiras equações:

2 λ = 2 y = x

⇒ x = 2 y

Substituindo na terceira equação:

x + 2 y = 1

⇒ 2 y + 2 y = 1

⇒ 4 y = 1

⇒ y = 1 4

Substituindo para encontrar x :

x = 2 y

⇒ x = 2 1 4

⇒ x = 1 2

Logo, o ponto que maximiza o produto das coordenadas é

1 2 , 1 4

Resposta

1 2 , 1 4

Exercício Resolvido #2

Waldecir Bianchini, Aprendendo Cálculo de Várias Variáveis, exemplo 6.9 p. 122

Determinar os extremos da função z = f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3 sobre a curva C : 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y = 2 x - 2 ,   2 y - 2

Passo 2

Pega a equação da curva e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Já está!

Passo 3

Definir função g x , y sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y = 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y :

∇ g x , y = 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

⇒ 2 x - 2 ,   2 y - 2 = λ 8 x - 8 ,   2 y - 2

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2

Passo 7

Adicionar equação da curva ao sistema encontrado acima:

Equação da curva: 4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

Completando quadrados:

4 x 2 - 8 x + y 2 - 2 y + 1 = 0

4 x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 = 4

⇒ 4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Logo:

2 x - 2 = λ 8 x - 8   2 y - 2 = λ 2 y - 2   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Colocando algumas coisas em evidência:

x - 1 = 4 λ x - 1   y - 1 = λ y - 1   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Jogando as duas primeiras equações para o lado esquerdo:

⇒ 4 λ - 1 x - 1 = 0   λ - 1 y - 1 = 0   4 x - 1 2 + y - 1 2 = 4

Passo 8

Resolver o sistema:

Essa é a parte mais Mandrake da história. Muitas vezes temos que dar uma olhada atenta na forma mais simples de resolver.

Pela primeira equação, temos que

4 λ - 1 = 0 ou x - 1 = 0

1ª hipótese: 4 λ - 1 = 0 :

⇒ λ = 1 4

Pela segunda equação:

λ - 1 ⏟ ≠ 0 y - 1 = 0

⇒ y - 1 = 0

⇒ y = 1

E pela terceira equação:

4 x - 1 2 + y - 1 2 ⏟ = 0 = 4

⇒ 4 x - 1 2 = 4

⇒ x - 1 2 = 1

⇒ x - 1 = ± 1

⇒ x = 1 ± 1

Portanto x = 2 ou x = 0

Então dois pontos satisfazem essa hipótese:

P 1 = 2,1   ; P 2 = 0,1

2ª hipótese: x - 1 = 0

⇒ x = 1

Pela terceira equação:

4 x - 1 2 ⏟ = 0 + y - 1 2 = 4

⇒ y - 1 2 = 4

⇒ y - 1 = ± 2

⇒ y = 1 ± 2

Portanto y = 3 ou y = - 1

Então outros dois pontos satisfazem essa segunda hipótese:

P 3 = 1,3   ; P 4 = 1 , - 1

Passo 9

Substituir pontos encontrados:

Antes de tudo, podemos completar quadrados na expressão da função f para facilitar as contas:

f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 3

⇒ f x , y = x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + 3 - 1 - 1

⇒ f x , y = x - 1 2 + y - 1 2 + 1

Substituindo P 1 :

f P 1 = f 2,1

⇒ f P 1 = 2 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 1 = 1 2 + 0 2 + 1

⇒ f P 1 = 2

Substituindo P 2 :

f P 2 = f 0,1

⇒ f P 2 = 0 - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 2 = - 1 2 + 0 2 + 1

⇒ f P 2 = 2

Substituindo P 3 :

f P 3 = f 1,3

⇒ f P 3 = 1 - 1 2 + 3 - 1 2 + 1

⇒ f P 3 = 0 2 + 2 2 + 1

⇒ f P 3 = 5

Substituindo P 4 :

f P 4 = f 1 , - 1

⇒ f P 4 = 1 - 1 2 + - 1 - 1 2 + 1

⇒ f P 4 = 0 2 + - 2 2 + 1

⇒ f P 4 = 5

Passo 10

Verificar quais são os pontos de máximo e mínimo:

Notemos que

f P 1 = f P 2 = 2

f P 3 = f P 4 = 5

Logo, os pontos P 1 e P 2 são pontos de mínimo e os pontos P 3 e P 4 são pontos de máximo.

Resposta

Pontos de máximo: 1,3 e 1 , - 1

Pontos de mínimo: 2,1 e 0,1

Exercício Resolvido #3

Cálculo IIB UFF, Lista 9, exercício 35

Ache o volume máximo do paralelepípedo no primeiro octante inscrível no elipsóide

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z ² = 144

Passo 1

Sim, a questão é meio bizarra, mas não se assuste!

Se olharmos a fundo, temos como pensar o seguinte: Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões do paralelepipedo, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação do elipsóide!

Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de Lagrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!

Passo 2

Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:

V x , y , z = x y z

Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de x , y e z e multiplicar, aí temos o volume!

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:

∇ V x , y , z = V x , V y , V z

Suas derivadas parciais são...

V x x , y , z = y z

V y x , y , z = x z

V z x , y , z = x y

Logo, o gradiente é:

∇ V x , y , z = y z , x z , x y

Passo 4

Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função do elipsóide:

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 144 = 0

Podemos dividir tudo por 144 , pra simplificar:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Lembre-se, antes temos que jogar tudo pro lado esquerdo (dessa vez não faz tanta diferença...)

Enfim, calculando as derivadas parciais do elipsóide:

E x x , y , z = 2 x 9

E y x , y , z = 2 y 36

E z x , y , z = 2 z 16

Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:

∇ E x , y , z = 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

Passo 5

Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!

∇ V x , y , z = λ ∇ E x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

E então é continuar decompondo essa expressão:

λ 2 x 9 = y z → 9 = λ 2 x y z

λ 2 y 36 = x z → 36 = λ 2 y x z

λ 2 z 16 = x y →   16 = λ 2 z x y

Passo 6

E, como temos agora os valores dos denominadores das variáveis do elipsóide em função do x , y , z e λ   é só colocar na própria equação dele! Fica assim:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Colocando os valores dos denominadores...

x 2 λ 2 x y z + y 2 λ 2 y x z + z 2 λ 2 z x y - 1 = 0

Desenvolvendo isso, fica...

x y z 2 λ + x y z 2 λ + x y z 2 λ = 1

x y z 2 + x y z 2 + x y z 2 = λ

3 x y z 2 = λ

Passo 7

Com os valores de lambda posso descobrir os valores de   x ,   y ,   e   z ! Olha como é simples:

Para x temos:

9 = λ 2 x y z

com λ = 3 x y z 2 fica

9 = 3 x y z 2 2 x y z

9 = 3 x 2

x = 3 3

Fazemos agora o mesmo para y e z :

36 = 3 x y z 2 2 y x z

y = 6 3

e

16 = 3 x y z 2 2 z x y

z = 4 3

Passo 8

Agora vem a parte mais fácil! Escrever nossa função volume com os x ,   y ,   e   z que encontramos!

V x , y , z = x y z

V x , y , z = 3 3 6 3 4 3

V x , y , z = 3.6 . 4 3 3

Resposta

V x , y , z = 24 3

Exercício Resolvido #4

Cálculo 2 UFRJ, PF 2013.2, questão 2

Deseja-se construir uma caixa retangular de 24   c m 3 de volume. O custo do material a ser utilizado é de R $   8,00 por c m 2 para a tampa e para o fundo, R $   3,00 por c m 2 para um par de lados opostos e R $   2,00 por c m 2 para o outro par de lados opostos. Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo.

Passo 1

Temos que modelar o problema numa linguagem matemática.

Digamos que as dimensões da caixa são x ,   y e z . Então o volume da caixa é V = x y z = 24   c m 3 .

Vamos fazer um desenho dessa caixa pra gente visualizar melhor, show?

Beleza, vamos continuar! :)

Passo 2

Agora vamos analisar o custo de construção da caixa.

Ele depende das dimensões x , y e z da caixa, então vamos chamá-lo de C ( x , y , z ) .

Esse custo total é a soma dos custos de cada lado da caixa, né? E cada par de lados tem seu preço de construção, e suas dimensões. Então vamos achar o custo de cada par de lados!

Tendo a figura aí de cima em mente, dá uma olhada nessa tabela:

Excelente! Então o custo total C é a soma do custo de construção dos 6 lados:

C x , y , z = 16 x y + 6 x z + 4 y z

Passo 3

Recapitulando, queremos o mínimo de C x , y , z = 16 x y + 6 x z + 4 y z com a restrição x y z = 24 . Isso não só tá pedindo, como tá implorando pra gente usar Lagrange! :D

Vamos criar a função F x , y , z = x y z - 24 assim temos

x y z = 24   ⇔   F x , y , z = 0

Então agora é só calcular os gradientes de C e F , o que vai ser tranquilo pra craques de derivação parcial como nós:

∇ C x , y , z = 16 y + 6 z ,   16 x + 4 z ,   6 x + 4 y

e

∇ F x , y , z = ( y z ,   x z ,   x y )

Passo 4

Show! Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos

∇ C ( x , y ) = λ ∇ F ( x , y )

Acrescentando a condição F x , y , z = 0 , obtemos o sistema

16 y + 6 z = λ y z 16 x + 4 z = λ x z 6 x + 4 y = λ x y x y z - 24 = 0

Multiplicando a 1ª equação por x , a 2ª por y e a 3ª por z , obtemos:

16 x y + 6 x z = λ x y z 16 x y + 4 y z = λ x y z 6 x z + 4 y z = λ x y z x y z - 24 = 0

Logo:

16 x y + 6 x z = 16 x y + 4 y z = 6 x z + 4 y z

Passo 5

Vamos separar essa equação em duas:

16 x y + 6 x z = 16 x y + 4 y z ⇒ 6 x z = 4 y z 1 16 x y + 4 y z = 6 x z + 4 y z ⇒ 16 x y = 6 x z 2

Não podemos ter dimensões negativas e o volume não é nulo então x > 0 , y > 0 e z > 0 . Considerando isso, pelas equação ( 1 ) temos:

6 x = 4 y   ⇒ y = 3 2 x

E a equação ( 2 ) nos dá:

16 y = 6 z   ⇒     z = 16 6 y = 16.3 6.2 x = 4 x

Passo 6

Ótimo! Então usando a restrição x y z - 24 = 0 obtemos

x ∙ 3 2 x ∙ 4 x = 24

⇒ 6 x 3 = 24

⇒   x 3 = 4

⇒   x = 4 3

Então para y e z temos:

y = 3 2 4 3

z = 4 4 3

Só achamos uma solução: x , y , z = 4 3 , 3 2 4 3 ,   4 4 3 . Então esse é o ponto que minimiza o custo de construção da caixa.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Cálculo 2 USP, P3 2010, questão 3 (modificada)

Determine os pontos de máximo e mínimo de

f x , y , z = x 2 + z 2 - x z + 3 y

em

R = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25

Passo 1

Não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ≤ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de f é:

∇ f x , y , z = 2 x - z ,   3 ,   2 z - x

Igualando a zero:

2 x - z ,   3 ,   2 z - x = 0 ,   0 ,   0

Opa, peraí! f y x , y , z = 3 ≠ 0 , então essa equação nunca vale! Portanto, f não tem nenhum ponto crítico, o que significa que os pontos de máximo e mínimo que procuramos estão na fronteira da região.

Aí sim podemos usar os multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

A fronteira da região é definida por:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

Jogando tudo pra esquerda:

x 2 + y 2 + z 2 - 25 = 0

Chamamos isso de g x , y , z :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 25

Calculamos o seu gradiente:

∇ g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

2 x - z , 3,2 z - x = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

2 x - z = λ . 2 x 3 = λ . 2 y 2 z - x = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 25  

Passo 4

Agora, só precisamos manejar as 3 primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição). Como a primeira e a terceira são bem parecidas (uma é exatamente a outra, trocando x e z de lugar!), vamos tentar algo com elas? Se subtraírmos a terceira da primeira, temos:

2 x - z - 2 z + x = λ . 2 x - λ . 2 z

Colocando x - z em evidência, temos:

3 x - z = 2 λ x - z

Lindo, não? Para resolver esses sistemas, só com talento e fé, amigo(a) XD

Passo 5

Agora, muita atenção: Não podemos simplesmente cortar esse x - z ! Como ele é coeficiente em ambos os lados, se, por exemplo, x = z , então x - z = 0 , e nesse caso, teríamos uma solução para a equação!

Agora que já vimos que x = z é uma das soluções da equação, cortemos essa porcaria XD Então, a equação ficaria assim:

3 = 2 λ

λ = 3 2

Pronto, temos aí a outra solução para a equação!

Passo 6

Show, agora, coloquemos, como primeiro caso, o valor de λ = 3 2 na segunda equação, para descobrir o valor de y ?

3 = 2 . λ y

3 = 2 . 3 2   y

y = 1

Passo 7

Pronto! Agora que temos o valor de uma variável, precisamos apenas do valor de mais uma, e então poderemos colocar na equação da restrição! Se colocarmos o λ = 3 2 na primeira equação, teremos:

2 x - z = λ . 2 x

2 x - z = 3 2 . 2 x

x = - z

Perfeito! Agora temos a relação entre x e z para esse valor de λ ! Perceba, teríamos encontrado a mesma relação colocando na terceira equação!

Passo 8

Agora estamos prontos para substituir valores na equação da restrição? Lembrando, chegamos até aqui partindo da premissa de que λ = 3 2 , e, com isso, descobrimos que y = 1 e x = - z fazem parte da nossa solução! Colocando tudo isso na restrição, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

- z 2 + 1 2 + z 2 = 25

Desenvolvendo...

z 2 + 1 + z 2 = 25

z = ± 12

E então, temos dois pontos, um para quando z = 12 , P 1 = - 12 ,   1 ,   12 , e outro para quando z = - 12 ,   P 2 = 12 ,   1 , -   12 .

Passo 9

Acabou? Claro que não! Seria bom de mais pra ser verdade XD

Lembra como tudo isso começou? Partimos dizendo que λ = 3 2 era solução da nossa equação x - z = λ x - z ! Agora, precisamos colocar x = z como solução! Vou colocar de novo aqui aquelas equações do sistema que caímos fazendo Lagrange, para não precisarmos ficar voltando lá em cima:

2 x - z = λ . 2 x 3 = λ . 2 y 2 z - x = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 25

Se tomarmos x = z , teremos, pela primeira equação:

2 . z - z = λ . 2 z

z = λ . 2 z

E, dessa equação, temos que λ = 1 2 , ou que, simplesmente z = 0 !

Passo 10

Para acabar logo com a brincadeira (ou parte dela), vamos analisar esse z = 0 ? Se temos z = 0 , temos x = 0 , pois encontramos esse resultado fazendo x = z . Colocando x = z = 0 na equação da restrição, teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

0 2 + y 2 + 0 2 = 25

y = ± 5

E concluímos com mais dois pontos! Se y = 5 , temos P 3 = 0 , 5,0 . Se y = - 5 , P 4 = 0 , - 5,0 !

Passo 11

Prossigamos, ainda temos λ = 1 2 ! Colocando esse valor de λ na segunda equação, teremos:

3 = 2 . 1 2 y

y = 3

E, colocando esse valor na equação da restrição, lembrando que x = z , teremos:

x 2 + y 2 + z 2 = 25

x 2 + 3 2 + x 2 = 25

2 x 2 = 16

x = ± 8

E nossos outros dois pontos são P 5 = 8 ,   3 ,   8 e P 6 = - 8 ,   3 ,   - 8

Passo 12

Ufa! Agora sim! Acho que encontramos todos os pontos, né? Agora, só precisamos ver os valores que a função assume em cada um deles.

Lembrando que a função é:

f x , y , z = x 2 + z 2 - x z + 3 y

Para P 1 = - 12 ,   1 ,   12 , temos:

f - 12 ,   1 ,   12 = - 12 2 + 12 2 - - 12 12 + 3.1 = 39

Para P 2 = 12 ,   1 , -   12 , temos:

f 12 ,   1 , -   12 = 12 2 + - 12 2 - 12 - 12 + 3.1 = 39

Para P 3 = 0 , 5,0 , temos:

f 0,5 , 0 = 0 2 + 0 2 - 0.0 + 3.5 = 15

Para P 4 = 0 , - 5,0 , temos:

f 0 , - 5,0 = 0 2 + 0 2 - 0.0 + 3 . - 5 = - 15

Para P 5 = 8 ,   3 ,   8 , temos:

f 8 ,   3 ,   8 = 8 2 + 8 2 - 8 8 + 3.3 = 17

Para P 6 = - 8 ,   3 ,   - 8 , temos:

f - 8 ,   3 ,   - 8 = - 8 2 + - 8 2 - - 8 - 8 + 3.3 = 17

Temos, então, que P 1 = - 12 ,   1 ,   12 e P 2 = 12 ,   1 ,   - 12 são pontos de máximo, enquanto P 4 = 0 , - 5,0 é ponto de mínimo!

Resposta

P 1 = - 12 ,   1 ,   12 e P 2 = 12 ,   1 ,   - 12 são pontos de máximo, enquanto P 4 = 0 , - 5,0 é ponto de mínimo.

Exercício Resolvido #6

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão discursiva

Considere a função f   : R 2 → R definida por

f x , y = x y - x - y + 2 .

(a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto

D = x , y ∈ R 2     x 2 + y 2 ≤ 1 } .

Passo 1

(a)

As palavrinhas mágicas “determine os pontos críticos e classifique-os” apareceram, então não tem erro!

Vamos ter que achar as derivadas parciais da f , igualá-las a zero e depois mandar brasa no teste da derivada segunda! Então partiu:

f x , y = x y - x - y + 2

⇒     f x x , y = y - 1 - 0 + 0 = y - 1

⇒ f y x , y = x - 0 - 1 + 0 = x - 1

Passo 2

Show! Agora vamos igualar essas derivadas parciais a zero:

f x x , y = 0

⇒ y - 1 = 0

⇒   y = 1

E:

f y x , y = 0

⇒ x - 1 = 0

⇒   x = 1

Portanto, f só tem um ponto crítico: o ponto P 0 = ( 1,1 ) .

Passo 3

Vamos usar o teste da derivada segunda pra classificar P 0 . Mas primeiro vamos precisar calcular as derivadas segundas, é claro! Vamos ter:

f x x x , y = 0

f y y x , y = 0

E pras derivadas mistas:

f x y x , y = f y x x , y = 1

Observação: as derivadas de segunda ordem são constantes, portanto o determinante do teste da derivada segunda não vai depender do ponto no qual é calculado :)

Passo 4

Agora sim, vamos aplicar o teste da derivada segunda:

H x , y = H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y P 0 f y x P 0 f y y ( P 0 ) = 0 1 1 0

H P 0 = 0.0 - 1.1 = - 1 < 0

L ogo P 0 é ponto de sela.

Tranquilo, vamos pra (b)!

Passo 5

(b)

Agora queremos o máximo e o mínimo de f com a restrição x 2 + y 2 ≤ 1 . Primeiro você pode reparar que o único ponto crítico da f , P 0 = ( 1,1 ) não faz parte desse conjunto D . Isso significa que vamos ter que procurar o máximo e o mínimo absolutos de f na borda do conjunto, ou seja no círculo x 2 + y 2 = 1 . Fatalmente vamos ter que usar Lagrange!

Vamos primeiro pegar a equação do círculo, jogar tudo pra esquerda deixando 0 na direita, beleza?

x 2 + y 2 - 1 = 0

Agora vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de g ( x , y ) :

g x , y = x 2 + y 2 - 1

Portanto, vamos ter um problema de máximo e mínimo com a típica restrição “lagrangeana” g x , y = 0 , o que dá na equação:

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

Passo 6

O gradiente da f nós já calculamos, é:

∇ f x , y = ( y - 1 ,   x - 1 )

E o da g vai ser:

g x x , y = 2 x + 0 - 0 = 2 x

g y x , y = 0 + 2 y - 0 = 2 y

⇒   ∇ g x , y = ( 2 x , 2 y )

Passo 7

Excelente! Então a equação dos multiplicadores de Lagrange fica:

y - 1 ,   x - 1 = λ ( 2 x , 2 y )

E ainda temos a restrição g x , y = 0 , então nosso sistema vai ficar assim:

y - 1 = λ 2 x 1 x - 1 = λ 2 y 2 x 2 + y 2 = 1 3

Vamos multiplicar a equação ( 1 ) por y , a equação ( 2 ) por x e subtrair uma da outra:

y y - 1 - x x - 1 = λ 2 x y - λ 2 y x = 0

y y - 1 = x ( x - 1 )

y 2 - y = x 2 - x

y 2 - x 2 = y - x

y - x y + x = y - x

Isso nos dá 2 opções:

  • ou y + x = 1   ⇒     y = 1 - x (caso 1)
  • ou y - x = 0   ⇒     y = x (caso 2)

Passo 8

Caso 1:

Vamos começar estudando o caso y = 1 - x . Substituindo na equação ( 3 ) , temos:

x 2 + 1 - x 2 = 1

x 2 + 1 - 2 x + x 2 - 1 = 0

2 x 2 - 2 x = 0

2 x x - 1 = 0

⇒ x = 0     o u     x = 1

Como y = 1 - x , se x = 0 então y = 1 , e se x = 1 então y = 0 .

Assim, obtemos 2 pontos candidatos a máximo ou mínimo de f em D : os pontos P 1 = ( 0,1 ) e P 2 = 1,0 .

Passo 9

Caso 2:

Vamos agora analisar o caso y = x . A equação ( 3 ) fica:

2 x 2 = 2 y ² = 1

⇒   x = y = ± 1 2 = ± 2 2

Assim, temos mais 2 pontos candidatos: P 3 = 2 2 , 2 2 e P 4 = - 2 2 ,   - 2 2 .

Passo 10

Portanto, temos 4 candidatos a ponto de máximo e mínimo absolutos de f no disco D :

P 1 = ( 0,1 )

P 2 = 1,0

P 3 = 2 2 , 2 2

P 4 = - 2 2 ,   - 2 2

Só falta calcular o valor da f em cada um desses pontos e ver qual é o máximo e qual é o mínimo, então vamos lá!

Portanto, os pontos de mínimo de f no conjunto D são ( 1,0 ) e ( 0,1 ) (o valor mínimo é 1 ), e o ponto de máximo é - 2 2 ,   - 2 2 (o valor máximo é 5 2 + 2 ).

Resposta

(a)

f tem um ponto crítico: o ponto de sela ( 1,1 ) .

(b)

Pontos de mínimo: ( 1,0 ) e ( 0,1 ) , com valor mínimo 1

Ponto de máximo - 2 2 ,   - 2 2 , com valor máximo 5 2 + 2 .

Exercício Resolvido #7

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.1, questão 2

A temperatura em uma placa de metal é dada por

T x , y = 8 x 2 - 24 x y + y 2

  1. Determine e classifique os pontos críticos de T em todo R 2 .
  2. Determine os pontos onde ocorrem a maior e a menor temperatura na região

D = x , y ∈ R 2 ; 8 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

a)

Vamos calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos

T x = 16 x - 24 y

T y = - 24 x + 2 y

Os pontos críticos sao aqueles onde as duas derivadas parciais são zero, vamos achar o seguinte sistema

16 x - 24 y = 0 - 24 x + 2 y = 0

Da primeira equação temos

x = 24 y 16 = 3 y 2

Da segunda equação temos

x = 2 y 24 = y 12

Igualando os valores de x vamos ter

3 y 2 = y 12

Assim o y só pode ser zero, o que faz o x ser zero também

Passo 2

O único ponto crítico que temos é 0,0 . Agora devemos calcular o determinante de

H 0,0 = T x x 0,0 T x y 0,0 T y x 0,0 T y y 0,0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

T x x = ∂ ∂ x ∂ T ∂ x = ∂ ∂ x 16 x - 24 y = 16

T y y = ∂ ∂ y ∂ T ∂ y = ∂ ∂ y - 24 x + 2 y = 2

T x y = ∂ ∂ x ∂ T ∂ y = ∂ ∂ x - 24 x + 2 y = - 24

Passo 3

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

T x x = 16

T y y = 2

T x y = - 24

Passo 4

Vamos agora calcular o determinante

H 0,0 = 16 - 24 - 24 2 = 16 ∙ 2 - - 24 ∙ - 24

H 0,0 = 32 - 576 = - 544

Temos que

H 0,0 < 0

Logo ele é um ponto de sela.

Passo 5

Temos uma região limitada, então sabemos que ela tem um valor de máximo e de mínimo global. Devemos achar todos os extremos da função e comparar os seus valores. Dentro de D o único ponto candidato é o 0,0 mas ele é ponto de sela então não é extremo.

Para a fronteira devemos usar multiplicadores de lagrange. Onde a curva fechada é

g x , y = 8 x 2 + y 2 - 1

e a nossa função em questão é

f x , y = T x , y

Passo 6

Devemos calcular

∇ T = λ ∇ g g x , y = 0

Vamos achar os gradientes de T e g

∇ T = 16 x - 24 y , - 24 x + 2 y

∇ g = 16 x , 2 y

Vamos ter então o seguinte sistema

16 x - 24 y = λ 16 x - 24 x + 2 y = λ 2 y 8 x 2 + y 2 - 1 = 0

Devemos resolver esse sistema.

Vamos isolar y na primeira equação

24 y = 16 x 1 - λ

Vamos agora isolar o x na segunda equação

24 x = 2 y 1 - λ

Se λ ≠ 1 , podemos dividir as duas equações que achamos ali em cima

y x = 8 x y

y 2 = 8 x 2

Agora que temos uma relação entre x e y podemos substituis na terceira equação

8 x 2 + 8 x 2 - 1 = 0

x 2 = 1 16

x = ± 1 4

Passo 7

Vamos agora achar o y ,

y 2 = 8 ∙ 1 16 = 1 2

y = ± 1 2

Achamos aqui 4 pontos

P 1 = 1 4 , 1 2

P 2 = 1 4 , - 1 2

P 3 = - 1 4 , 1 2

P 4 = - 1 4 , - 1 2

Lembra que falamos se λ ≠ 1 ? Vamos ver agora se λ = 1

Passo 8

Se λ = 1 vamos ter

24 y = 16 x 1 - 1 = 0

y = 0

e

24 x = 2 y 1 - 1 = 0

x = 0

Isso com as duas primeiras se substituirmos na terceira vamos ter

8 ∙ 0 2 + 0 2 - 1 = 0

O que não é possível. Então os únicos pontos são aqueles do passo 6

Passo 9

Agora vamos substituir esses pontos na função e ver, o maior vai ser o máximo e o menor vai ser o mínimo.

T x , y = 8 x 2 - 24 x y + y 2

T P 1 = 8 1 4 2 - 24 1 4 1 2 + 1 2 2

T P 1 = 8 16 - 6 2 + 1 2

T P 1 = 1 2 - 6 2 2 + 1 2

T P 1 = 1 - 3 2

T P 2 = 8 1 4 2 - 24 1 4 - 1 2 + - 1 2 2

T P 2 = 8 16 + 6 2 + 1 2

T P 2 = 1 2 + 6 2 2 + 1 2

T P 2 = 1 + 3 2

T P 3 = 8 - 1 4 2 - 24 - 1 4 1 2 + 1 2 2

T P 3 = 8 16 + 6 2 + 1 2

T P 3 = 1 2 + 6 2 2 + 1 2

T P 3 = 1 + 3 2

T P 4 = 8 - 1 4 2 - 24 - 1 4 - 1 2 + - 1 2 2

T P 4 = 8 16 - 6 2 + 1 2

T P 4 = 1 2 - 6 2 2 + 1 2

T P 4 = 1 - 3 2

Podemos perceber então que o máximo acontece em P 2 e P 3 e o mínimo acontece em P 1 e P 4

Resposta

  1. 0,0 → P o n t o   d e   S e l a
  2. 1 4 , 1 2   e   - 1 4 , - 1 2 → M í n i m o

1 4 , - 1 2   e   - 1 4 , 1 2 → M á x i m o

Exercício Resolvido #8

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.2, questão 1

Considere a função f x , y = y 3 3 - 9 y + x ²

(a) Determine e classifique os pontos críticos de f em todo o R ² .

(b) Determine os pontos de máximo e mínimo de f sobre a circunferência:

x 2 + y + 3 2 = 9

(c) Determine os valores máximo e mínimo de f no disco

D = x , y   : x 2 + y + 3 2 ≤ 9

e os pontos onde estes valores ocorrem.

Passo 1

(a)

Assim que a gente vir essas palavrinhas mágicas, “classifique os pontos críticos”, o nosso reflexo tem que ser: calcular as derivadas parciais, igualá-las a 0 e depois mandar ver no teste da derivada segunda! Então vamos fazer isso, começando pelas derivadas parciais:

∂ f ∂ x x , y = 0 - 0 + 2 x = 2 x

∂ f ∂ y x , y = y 2 - 9 + 0 = y 2 - 9

Passo 2

Show! Agora vamos igualar essas derivadas a 0:

f x x , y = 0 f y x , y = 0  

Ou seja:

2 x = 0 ⇒ x = 0 y 2 - 9 = 0 ⇒ y = ± 3

Excelente! Isso nos dá os pontos críticos P 1 = 0,3 e P 2 = ( 0 , - 3 ) .

Passo 3

Agora só resta classificar esses pontos críticos, usando o teste da derivada segunda, então vamos calcular as derivadas segundas! Lembrando que f x x , y = 2 x e f y x , y = y 2 - 9 , vamos ter:

f x x x , y = 2

f y y x , y = 2 y - 0 = 2 y

E pras derivadas mistas:

f x y = f y x = 0

Passo 4

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda :) O nosso determinante vai ser:

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 2 0 0 2 y = 2.2 y - 0.0 = 4 y

E a gente tinha a achado os pontos críticos P 1 = 0,3 e P 2 = ( 0 , - 3 ) , né? Nesses pontos vamos ter:

H P 1 = 4 y = 4.3 = 12 > 0

E f x x 0,3 = 2 > 0 . Logo, o ponto P 1 é ponto de mínimo local!

E pro outro ponto:

H P 2 = 4 . - 3 = - 12 < 0

Logo, o ponto P 2 é ponto de sela!

Passo 5

(b)

Queremos os pontos de mínimo e máximo de f sobre o círculo x 2 + y + 3 2 = 9 . Com uma restrição desse tipo meu amigo, não tem erro, vamos de Lagrange!

Antes, só uma coisa: a equação de um círculo com centro em ( a , b ) e de raio r é x - a 2 + y - b 2 = r ² , certo? Então esse círculo tem centro em 0 , - 3 , que nada mais é que o ponto P 2 , e tem raio 3 . Vamos dar uma olhadinha nele:

Passo 6

Show, agora vamos aplicar nosso passo a passo de questão de Lagrange!

Já temos o gradiente da f , calculamos na letra (a):

∇ f x , y = 2 x ,   y 2 - 9

Beleza, agora vamos pegar a equação do círculo e jogar tudo pro lado esquerdo, deixando 0 na direita:

x 2 + y + 3 2 - 9 = 0

E vamos chamar o lado esquerdo dessa equação de g :

g x , y = x 2 + y + 3 2 - 9

Agora vamos calcular as derivadas parciais da g :

∂ g ∂ x x , y = 2 x + 0 - 0 = 2 x

E, usando a regra da cadeia:

∂ g ∂ y x , y = 0 + 2 . y + 3 . 1 - 0 = 2 y + 6

Ou seja, o gradiente da g é:

∇ g x , y = ( 2 x ,   2 y + 6 )

Passo 7

Excelente! Preparamos bem o terreno pros multiplicadores de Lagrange! Vamos ter:

∇ f ( x , y ) = λ ∇ g ( x , y )

Também temos a equação do círculo, então o nosso sistema vai ficar assim:

2 x = λ 2 x ( 1 ) y 2 - 9 = λ 2 y + 6 ( 2 ) x 2 + y + 3 2 - 9 = 0 ( 3 )  

Passo 8

Bem, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas!

Pela equação 1 , temos:

λ = 1     o u     x = 0

Se λ = 1 :

A equação ( 2 ) fica:

y 2 - 9 = 2 y + 6

⇒   y 2 - 2 y - 15 = 0

⇒   y = 2 ± - 2 2 - 4.1 . - 15 2.1 = 2 ± 64 2 = 2 ± 8 2 = 1 ± 4

Beleza, vamos testar esses dois casos:

  • Se y = 1 + 4 = 5 na equação ( 3 ) vamos ter:

    • x 2 + 8 2 - 9 = 0  

    ⇒ x 2 = 9 - 64 = - 55

    o que é impossível! Então vamos descartar a possibilidade y = 5 .

  • Se y = 1 - 4 = - 3 a equação 3 vai ficar:

x 2 + 0 2 - 9 = 0

⇒ x 2 = 9

  ⇒ x = ± 3

Beleza! Achamos mais 2 pontos, P 3 = ( 3 , - 3 ) e P 4 = ( - 3 , - 3 ) .

Passo 9

Ainda temos a outra possibilidade que a equação ( 1 ) nos deu, lembra?

Se x = 0 :

A equação ( 3 ) fica:

0 2 + y + 3 2 - 9 = 0

y + 3 2 = 9

y + 3 = ± 3

y = 0     o u     y = - 6

Opa! Achamos mais 2 pontos: P 5 = ( 0,0 ) e P 6 = ( 0 , - 6 ) .

Passo 10

Show, estamos quase acabando!

Como os pontos críticos de f P 1 e P 2 que achamos na letra (a) não estão sobre o círculo, vamos ter apenas 4 candidatos a ponto de máximo e mínimo de f sobre o tal círculo. São os pontos:

P 3 = ( 3 , - 3 )

P 4 = ( - 3 , - 3 )

P 5 = ( 0,0 )

P 6 = ( 0 , - 6 )

Saca só como eles ficam na figura:

Beleza, então agora só resta calcular o valor da função em cada ponto e ver qual vai ser o máximo e qual o mínimo! Dá uma olhada nessa tabela:

Portanto, P 3 e P 4 são os pontos de máximo, enquanto P 6 é o ponto de mínimo!

Passo 11

(c)

Bem, agora queremos os pontos de mínimo e máximo de f sobre o disco x 2 + y + 3 2 ≤ 9 .

Opa! É a mesma equação do círculo, só trocando, o “ = ” pelo “ ≤ ”. Ou seja, o disco D vai ser assim:

Repare que o ponto P 1 não está no disco, então nossos candidatos a ponto de máximo e mínimo são os outros pontos: P 2 ,   P 3 ,   P 4 ,   P 5 e P 6 . Ou seja, são os mesmos candidatos que pro círculo, mais o ponto P 2 !

O valor máximo era 27, em P 3 e P 4 , e o valor mínimo era -18, em P 6 .

E f P 2 = f 0 , - 3 = - 27 3 - 9 . - 3 + 0 = - 9 + 27 = 18

Ou seja:

f P 6 = - 18 < f P 2 < 27 = f P 3 = f ( P 4 )

Então vamos ter exatamente o mesmo resultado da letra (b): os pontos de máximo são P 3 e P 4 , com o valor máximo 27, e o ponto de mínimo é P 6 , com o valor mínimo -18.

Resposta

(a)

Os pontos críticos são 0,3 (mínimo local) e ( 0 , - 3 ) (ponto de sela).

(b) e (c)

Pontos de máximo: ( 3 , - 3 ) e ( - 3 , - 3 ) , com valor máximo 27 .

Ponto de mínimo: ( 0 , - 6 ) , com valor mínimo - 18 .

Exercício Resolvido #9

Cálculo 2 USP, PREC 2013, questão 4

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = 2 a 3 y 3 + x 2 - 5 a 2 y 2 - 4 x + 3

para um real a ≠ 0 fixado.

a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os, em função do parâmetro a .

b) Faça a = - 1 e determine o valor máximo e o valor mínimo de f em C = x , y ∈ R 2     2 x - 2 2 + y 2 ≤ 4

Passo 1

a) Determinar pontos críticos? Deriva e iguala a 0 ! Vamos encontrar as derivadas da função?

Derivando em relação a x , teremos:

f x x , y = 2 x - 4

Derivando em relação a y , teremos:

f y x , y = 2 a y 2 - 5 a y

Show!

Passo 2

Agora temos que resolver cada uma das equações

2 x - 4 = 0 2 a y 2 - 5 a y = 0

Para que a primeira se anule, vemos direto que:

2 x = 4

x = 2

Logo, a primeira coordenada nos nossos pontos críticos será 2 :D

Para que a segunda se anule, temos:

2 a y 2 - 5 a y = 0

Sabemos que a ≠ 0 . Por isso, podemos dizer que:

2 y 2 - 5 y = 0

Colocando y em evidência,

y 2 y - 5 = 0

E, assim, temos que ou y = 0 , ou y = 5 2 .

Portanto, os pontos críticos são 2,0 e 2 , 5 2 :D

Passo 3

Chegou a hora de classificar os pontos que encontramos! Para isso, precisamos das segundas derivadas e montar a hessiana.

Pegando o f x e derivando de novo em relação a x , teremos:

f x x , y = 2 x - 4

f x x = 2

Pegando o f y e derivando de novo em relação a y , teremos:

f y x , y = 2 a y 2 - 5 a y

f y y x , y = 4 a y - 5 a

Pegando o f x e derivando em relação a y para encontrar a derivada mista, temos:

f x x , y = 2 x - 4

f x y x , y = 0

E a hessiana fica:

H P = 2 0 0 4 a y - 5 a

Passo 4

Agora que temos a hessiana, podemos testar se o que os pontos encontrados são :D

Colocando o 2,0 , temos:

H P = 2 0 0 4 a . 0 - 5 a = - 10 a

No caso de a > 0 , 2,0 é ponto de sela. No caso de a < 0 , então 2,0 é ponto de mínimo, pois f x x é maior que 0 !

Passo 5

Para o ponto 2 , 5 2 , teremos:

H P = 2 0 0 4 a . 5 2 - 5 a = 10 a

Neste caso, se temos a > 0 , então 2 , 5 2 é ponto de mínimo pois f x x é maior que 0 , e, no caso de a < 0 , 2 , 5 2 é ponto de sela.

Passo 6

b) Verificar máximos e mínimos com restrição? Chegou a hora de mandar aquele LaGrange!

Como a região é 2 x - 2 2 + y 2 ≤ 4 , temos que verificar se temos candidatos pontos críticos dentro dela. No caso, podemos escrevê-la como:

x - 2 2 2 + y ² 4 ≤ 1

E esse é uma elipse de raio no eixo x   i g u a l   a 2 e raio no eixo y   i g u a l   a   2 centrada em 2 , 0 .

Sendo assim, o ponto que vamos levar em conta como candidato é o 2,0 , que está dentro dessa região.

Passo 7

Agora, para aplicar Lagrange, precisamos dos vetores gradiente!

Como o enunciado pede pra colocarmos a = - 1 , então o vetor gradiente de f que era:

∇ f x , y = 2 x - 4,2 a y 2 - 5 a y

fica

∇ f x , y = 2 x - 4 , - 2 y 2 + 5 y

Show! Agora, precisamos encontrar o vetor gradiente da restrição, que podemos chamá-la de:

h x , y = 2 x - 2 2 + y 2 - 4

Para encontrá-lo, basta que derivemos essa equação:

h x = 4 x - 2

h y = 2 y

E o vetor é:

∇ h x , y = 4 x - 2 , 2 y

Passo 8

Agora que temos os dois vetores, podemos dizer que eles são L I por LaGrange fazendo seu produto vetorial e igualando a 0 :

2 x - 4 - 2 y 2 + 5 y 4 x - 2 2 y = 0 →

Isso nos dá que:

2 y 2 x - 4 - 4 x - 2 - 2 y 2 + 5 y = 0

Podemos colocar x - 2 em evidência, fazendo:

4 y x - 2 - 4 x - 2 - 2 y 2 + 5 y = 0

E, assim, passando esse sinal de negativo pra dentro do - 2 y 2 + 5 y ,

4 x - 2 . 2 y 2 - 5 y + y = 0

4 x - 2 . 2 y 2 - 4 y = 0

Colocando, agora, y em evidência, temos:

4 x - 2 . y 2 y - 4 = 0

Beleza? Acho que não dá pra colocar mais nada em evidência XD

Passo 9

Agora que temos a equação do produto vetorial, vamos juntá-la com a equação da restrição num sistema:

4 x - 2 . y 2 y - 4 = 0 2 x - 2 2 + y 2 = 4

Da primeira, temos que, para dar 0 , ou x = 2 , ou y = 0 , ou y = 2 , certo? Para isso que sempre devemos colocar tudo o que pudermos em evidência! Facilita muito a vida depois ;)

Agora, vamos testar cada uma dessas soluções na equação da restrição (a de baixo).

Começando por x = 2 , teremos:

2 2 - 2 2 + y 2 = 4

y = ± 2

Assim, os pontos que temos são 2,2 e 2 , - 2 .

Passo 10

Testando agora com y = 0 na equação da restrição, teremos:

2 x - 2 2 + 0 2 = 4

x - 2 2 = 2

x - 2 = ± 2

x = ± 2 - 2

E os pontos que temos são: 2 + 2 , 0 e 2 - 2 , 0

Testando y = 2 , teremos, na equação da restrição:

2 x - 2 2 + 2 2 = 4

x - 2 2 = 0

x = 2

E o ponto candidato é 2,2 !

Passo 11

Show! Finalmente encontramos todas as possibilidades! Nossos pontos candidatos são:

2,0 2,2 2 , - 2 2 + 2 , 0 2 - 2 , 0  

Vamos ver qual valor a função assume para cada um deles? Lembrando que agora tomamos a = - 1 ,

f x , y = - 2 3 y 3 + x 2 + 5 2 y 2 - 4 x + 3

Para 2,0 ,

f 2,0 = - 2 3 0 3 + 2 2 + 5 2 0 2 - 4.2 + 3 = - 1

Para 2,2 ,

f 2,2 = - 2 3 2 3 + 2 2 + 5 2 2 2 - 4.2 + 3 = - 16 3 + 9 = 11 3

Para 2 , - 2 ,

f 2 , - 2 = - 2 3 - 2 3 + 2 2 + 5 2 - 2 2 - 4 2 + 3 = 9 + 16 3 = 43 3

Para 2 + 2 , 0 ,

f 2 + 2 , 0 = - 2 3 0 3 + 2 + 2 2 + 5 2 0 2 - 4 2 + 2 + 3 =

4 + 4 2 + 2 - 8 - 4 2 + 3 = 1

Para 2 - 2 , 0 ,

f 2 - 2 , 0 = - 2 3 . 0 3 + 2 - 2 2 + 5 2 . 0 2 - 4 2 - 2 + 3 =

4 - 4 2 + 2 - 8 + 4 2 + 3 = 1

Assim, o ponto de mínimo é f 2,0 = - 1 e o de máximo é f 2 , - 2 = 43 3

Resposta

a) Se a > 0 , 2,0 é ponto de sela. Se a < 0 , 2,0 é ponto de mínimo. Se a > 0 , 2 , 5 2 é ponto de mínimo. Se a < 0 , 2 , 5 2 é ponto de sela.

b) Assim, o ponto de mínimo é f 2,0 = - 1 e o de máximo é f 2 , - 2 = 43 3

Exercício Resolvido #10

Elaboração Própria

Calcule os pontos de máximo e mínimo absolutos de

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

Na esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Calcular gradiente da função:

∇ f x , y , z = 2 x ,   4 y ,   6 z - 1

Passo 2

Pegar a equação da superfície e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito. Essa será nossa função g ( x , y , z ) :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Seu gradiente vai ficar:

∇ g x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

⇒   2 x , 4 y , 6 z - 1 = λ ( 2 x , 2 y , 2 z )

Igualando termo a termo e adicionando a equação da superfície de restrição, ficamos com o sistema

2 x = λ 2 x 1 4 y = λ 2 y 2 6 z - 1 = λ 2 z 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Passo 4

Resolvendo o sistema, pela equação ( 1 ) temos

x = 0     o u     λ = 1

e pela equação ( 2 ) :

y = 0     o u     λ = 2

Repare que não podemos ter x ≠ 0 e y ≠ 0 ao mesmo tempo porque senão pela ( 1 ) teríamos λ = 1 e pela ( 2 ) λ = 2 . Então vamos ter 3 possibilidades:

  • x = y = 0
  • x = 0 e y ≠ 0
  • x ≠ 0 e y = 0

Vamos olhar caso por caso!

Passo 5

Começando pelo primeiro

Se x = y = 0 , a equação ( 4 ) fica:

z = ± 1

Vamos testar se esses valores condizem com a equação ( 3 ) :

6 z - 1 = λ 2 z

Caso z = 1 :

5 = λ 2

⇒ λ = 5 2

E caso z = - 1 :

- 7 = - 2 λ

λ = 7 2

Tudo certo! :)

Assim, obtemos 2 pontos candidatos: os pontos P 1 = ( 0,0 , 1 ) e P 2 = ( 0,0 , - 1 ) .

Passo 6

Agora vamos ao segundo caso.

Se x = 0 e y ≠ 0 :

Pela equação ( 2 ) temos λ = 2 .

Então, substituindo isso na equação ( 3 ) ela fica:

z = 1 2

Substituindo na ( 4 ) :

y = ± 3 2

Mais 2 candidatos! Os pontos P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 e P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 .

Passo 7

  • Agora é a última possibilidade! Se x ≠ 0 e y = 0 :

Pela equação ( 1 ) temos λ = 1 . Substituindo isso na ( 3 ) encontramos:

z = 1 4

Agora vamos achar o x com a equação ( 4 ) . Para isso, é só substituir y = 0 nela. Encontramos:

x = ± 15 4

Logo, os nossos últimos 2 candidatos são os pontos P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 e P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4 .

Passo 8

Recapitulando, achamos os pontos

P 1 = 0,0 , 1 , P 2 = 0,0 , - 1 , P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 , P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 , P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 , P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4

Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

f P 1 = 2 , f P 2 = 4 , f P 3 = 7 4 , f P 4 = 7 4 , f P 5 = 7 8 , f P 6 = 7 8

Portanto, os pontos de máximo e mínimo de f , restrita à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , são os pontos 0 ,   0 ,   - 1 (máximo), e 15 4 , 0 , 1 4 e - 15 4 , 0 , 1 4 (mínimo).

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo de f , restrita à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , são os pontos 0 ,   0 ,   - 1 (máximo), e 15 4 , 0 , 1 4 e - 15 4 , 0 , 1 4 (mínimo).

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