Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:

g) f(u, v, w) = u^2 + v^2 - w^2 + u*v*w; P(0,1,0)

Passo 1

O vetor gradiente é dado por:

∇ f = ∂ f ∂ u , ∂ f ∂ v ,   ∂ f ∂ w

Então, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a u :

∂ f ∂ u = 2 u + v w

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a v :

∂ f ∂ v = 2 v + u w

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de f   em relação a w :

∂ f ∂ w = - 2 w + u v

Desse modo, temos o seguinte vetor gradiente:

∇ f = 2 u + v w ,   2 v + u w ,   - 2 w + u v

Passo 2

Devemos agora, aplicar o ponto dado no vetor gradiente obtido.

Então, no ponto P 0 ,   1,0 , temos:

∇ f 0 ,   1,0 = 0 + 0 ,   2 + 0 ,   0 + 0 = 0 ,   2 ,   0

Resposta

∇ f 0 ,   1,0 = 0 ,   2 ,   0

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