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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 10

a ) Determine o gradiente de f

b ) Calcule o gradiente no ponto P

c ) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

f x , y , z = x + y z

P 1,3 , 1

u = 2 7 , 3 7   , 6 7

Passo 1

Oie, vamos de resolução de mais uma questão comigo?

Veja que temos algumas coisas para fazer com a função:

f x , y , z = x + y z

Primeiro iremos encontrar o gradiente de f , isso a gente faz dessa forma:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Isso é, calculando as derivadas parciais de cada variável.

Depois iremos calcular o valor do gradiente no ponto:

P 1,3 , 1

Iremos fazer isso substituindo os valores das coordenadas na equação que encontrarmos para o gradiente.

Por último iremos encontrar a taxa de variação de f em P na direção do vetor:

u = 2 7 , 3 7   , 6 7

Fazendo isso calculando a derivada direcional:

D u f = ∇ f ⋅ u

Isso é, o produto escalar entre o gradiente nesse ponto e o vetor unitário u .

Passo 2

a)Primeiro achamos as derivadas parciais, veja que aqui deveremos utilizar a regra da cadeia para que possamos derivar:

f x , y , z = x + y z

Derivando em relação a x e considerando todas as outras variáveis como constantes:

f x = g x 1 2 ' ⋅ x + y z '

f x = 1 2 x + y z

Fazendo o mesmo para as outras funções vamos encontrar:

f y = z 2 x + y z

f z = y 2 x + y z

Então o nosso gradiente será:

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z =   1 2 x + y z , z 2 x + y z , y 2 x + y z

Passo 3

b)Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f x , y , z =   1 2 x + y z , z 2 x + y z , y 2 x + y z

Substituindo os valores:

∇ f 1,3 , 1 = 1 2 1 + 3 + , 1 2 1 + 3 , 3 2 1 + 3

Temos então que o gradiente no ponto dadao é:

∇ f 1,3 , 1 =   1 4 , 1 4 , 3 4

Passo 4

c)Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1:

D u f = ∇ f ⋅ u

Colocando os valores que já encontramos:

D u f 1,3 , 1 = 1 4 , 1 4 , 3 4 ⋅ 2 7 , 3 7 , 6 7

Realizando esse produto escalar:

D u f = 1 4 ⋅ 2 7 + 1 4 ⋅ 3 7 + 3 4 ⋅ 6 7

Teremos:

D u f = 2 28 + 3 28 + 18 28

D u f = 23 28

Resposta

a )   ∇ f x , y , z =   1 2 x + y z , z 2 x + y z , y 2 x + y z

b )   ∇ f 1,3 , 1 =   1 4 , 1 4 , 3 4

c ) 23 28

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