Derivadas - Matriz Jacobiana
Teoria
Antes, quando falávamos da derivada de uma função , estavámos falando de uma outra função, que chamávamos de . Agora, como temos funções vetoriais de várias variáveis, a derivada da nossa função vai ser uma matriz, que chamamos de Matriz Jacobiana.
Essa matriz nada mais é do que uma matriz onde na mesma linha teremos as derivadas parciais da mesma função em relação a cada uma das variáveis e na mesma coluna teremos as derivadas parciais em relação a mesma variável, de cada uma das diferentes funções que compõe nossa função vetorial.
Olha como é fácil:
Vamos determinar, a derivada, ou a Jacobiana da função:
As funções componentes são
e
Então a jacobiana vai ser uma matriz com todas as derivadas possíveis de e em função de , e . Ela vai ficar
Tranquilão, né?
E se quisermos saber o valor dessa derivada num ponto específico, por exemplo , é só substituir esse ponto na matriz jacobiana. Assim:
Pronto, é só isso!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine a matriz jacobiana da função abaixo
Passo 1
Vamos começar identificando que tipo de função é essa.
Temos um parâmetro certo? E ele leva em quantas coordenadas? né?
Beleza, então a função vai ser assim
Vamos agora ver quais são as funções componentes
Como fica a matriz jacobiana?
Passo 2
Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada
Como vai ficar a matriz?
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Determine a matriz jacobiana da função abaixo
Passo 1
Vamos começar identificando que tipo de função é essa.
Temos parâmetro certo? Sim, nesse caso , e são parâmetros. Isso porque eles estão no .
E ele leva em quantas coordenadas? só né?
Beleza, então a função vai ser assim
Vamos agora ver quais são as funções componentes
Como fica a matriz jacobiana?
Nesse caso o jacobiano vai ser igual ao vetor gradiente, conseguiu ver como é parecido?
Passo 2
Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada
Como vai ficar a matriz?
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Determine a matriz jacobiana da função abaixo
Passo 1
Vamos começar identificando que tipo de função é essa.
Temos parâmetros certo?
E ele leva em quantas coordenadas? né?
Beleza, então a função vai ser assim
Vamos agora ver quais são as funções componentes
Como fica a matriz jacobiana?
Passo 2
Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada
Como vai ficar a matriz?