Teoria

Antes, quando falávamos da derivada de uma função f , estavámos falando de uma outra função, que chamávamos de f ' . Agora, como temos funções vetoriais de várias variáveis, a derivada da nossa função F vai ser uma matriz, que chamamos de Matriz Jacobiana.

Essa matriz nada mais é do que uma matriz onde na mesma linha teremos as derivadas parciais da mesma função em relação a cada uma das variáveis e na mesma coluna teremos as derivadas parciais em relação a mesma variável, de cada uma das diferentes funções que compõe nossa função vetorial.

Olha como é fácil:

Vamos determinar, a derivada, ou a Jacobiana da função:

F x , y , z = x 2 + e y , x + y sen ⁡ z

As funções componentes são

f 1 x , y , z = x 2 + e y e

f 2 x , y , z = x + y sen ⁡ z

Então a jacobiana vai ser uma matriz com todas as derivadas possíveis de f 1 e f 2 em função de x , y e z . Ela vai ficar

J F = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z

F ' ( x , y , z ) = J F = 2 x e y 0 1 sen ⁡ z y cos ⁡ z

Tranquilão, né?

E se quisermos saber o valor dessa derivada num ponto específico, por exemplo 1,0 , π 2 , é só substituir esse ponto na matriz jacobiana. Assim:

F ' 1,0 , π 2 = J F 1,0 , π 2 = 2 1 0 1 1 0

Pronto, é só isso!

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