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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 3

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, e pra isso, vamos usar a seguinte parametrização da curva C :

x = 4 cos t e y = 4 s e n t

Como o enunciado diz que C é apenas metade direita do circulo, temos que

- (pi)/(2) <= t <= (pi)/(2)

Então teremos:

x y^4 = 4 cos t . 4^4 s e n^4 t = 4^5 s e n^4 t cos t

Passo 2

Agora vamos calcular d s

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Temos que,

x = 4 cos t

(d x)/(d t) = - 4 s e n t

y = 4 s e n t

(d y)/(d t) = 4 cos t

Substituindo na fórmula,

d s = sqrt((- 4 s e n t)^2 + (4 cos t)^2) d t = sqrt(4^2 (s e n^2 t + cos^2 t)) d t = 4 d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C x y^4 d s = int_(- pi // 2)^(pi // 2) 4^6 s e n^4 t cos t d t

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida:

int_(- pi // 2)^(pi // 2) 4^6 s e n^4 t cos t d t = 4^6 [(s e n^5 t)/(5)]_(- pi // 2)^(pi // 2) = (4^6)/(5) (1 + 1) = (8192)/(5)

Essa integral a gente consegue resolver por substituição simples, fazendo u = s e n t .

Resposta

(8192)/(5)

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