(Divergente em coordenadas polares) Seja omega um campo aberto no semiplano y > 0 e seja F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j , (x, y) ∈ Ω , com P e Q de classe C_1 . Seja P_1(theta, rho) = P(x, y) e Q1(theta, rho) = Q(x, y) , com x = rho \* cos(theta) e y = rho \* sen(theta) .

  1. Mostre que:
  2. ∂P/∂x (x, y) = -1/ρ \* sen θ \* ∂P1/∂θ (θ, ρ) + cos θ \* ∂P1/∂P (θ, ρ)

    E

    ∂Q/∂y(x,y) = 1/ρ \* cos θ \* (∂Q₁/∂θ)(θ, ρ) + sen θ \* (∂Q₁/∂ρ)(θ, ρ)

  3. Conclua que div F(x, y) = sen theta [-1/ρ ∂P1/∂θ(θ, ρ) + ∂Q1/∂ρ(θ, ρ)] + cos theta [1/ρ ∂Q1/∂θ(θ, ρ) + ∂P1/∂P(θ, ρ)] .

Passo 1

a)

Vamos começar derivando P 1 em relação a θ   e   a   ρ :

∂ P 1 ∂ θ = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ θ

Resolvendo as derivadas parciais...

∂ P 1 ∂ θ = ∂ P ∂ x - ρ s e n   θ + ∂ P ∂ y ρ cos ⁡ θ     ( 1 )

Agora em relação a ρ :

∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ ρ + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ ρ  

= ∂ P ∂ x ( cos ⁡ θ )   + ∂ P ∂ y s e n   θ             ( 2 )

Passo 2

Vamos fazer uns ajustes nas equações encontradas. A gente vai multiplicar a primeira por -   s e n   θ e a segunda por ρ cos ⁡ θ . Aí vai ficar:

- s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ = ∂ P ∂ x ρ s e n 2   θ + ∂ P ∂ y - ρ cos ⁡ θ   s e n   θ  

ρ cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ( ρcos 2 ⁡ θ )   + ∂ P ∂ y ρ s e n   θ cos ⁡ θ

Vamos somar as duas agora...

- s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ + ρ cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ρ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + ∂ P ∂ y - ρ cos ⁡ θ   s e n   θ + ρ s e n   θ cos ⁡ θ

- s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ + ρ cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ρ  

∂ P ∂ x ( x , y ) = - 1 ρ s e n   θ   ∂ P ∂ x ( θ ,   ρ ) + cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ ( θ ,   ρ )

Show! Chegamos ao que queríamos mostrar.

Fazendo esse mesmo esquema, você chega na parcial de Q , que é:

∂ Q ∂ y x , y = 1 ρ cos ⁡ θ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + s e n   θ ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ

Passo 3

b)

Bom, o divergente é a soma das parciais né? Então vamos somar as duas:

d i v F → x , y = ∂ P ∂ x x , y + ∂ Q ∂ y x , y    

d i v   F → x , y = - 1 ρ s e n   θ   ∂ P ∂ x θ ,   ρ + cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ θ ,   ρ + 1 ρ cos ⁡ θ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + s e n   θ ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ    

Vamos colocar o s e n   θ e o cos ⁡ θ   em evidência...

d i v   F → x , y = s e n   θ - 1 ρ ∂ P ∂ x θ ,   ρ + ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ + cos ⁡ θ 1 ρ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + ∂ P 1 ∂ ρ θ ,   ρ

Prontinho! Do jeitinho que era pra provar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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