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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 12

(Divergente em coordenadas polares) Seja Ω um campo aberto no semiplano y > 0 e seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , x , y ∈ Ω , com P   e   Q de classe C 1 . Seja P 1 θ ,   ρ = P x , y e Q 1 θ ,   ρ = Q x , y , com x = ρ cos ⁡ θ   e   y = ρ s e n   θ .

  1. Mostre que:

    2. ∂ P ∂ x x , y =   - 1 ρ s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ θ ,   ρ + cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ P θ ,   ρ

    E

    ∂ Q ∂ y x , y = 1 ρ cos ⁡ θ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + s e n   θ ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ

  2. Conclua que d i v   F → x , y = s e n   θ - 1 ρ ∂ P 1 ∂ θ   θ ,   ρ + ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ + cos ⁡ θ 1 ρ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + ∂ P 1 ∂ P θ ,   ρ .

Passo 1

a)

Vamos começar derivando P 1 em relação a θ   e   a   ρ :

∂ P 1 ∂ θ = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ θ

Resolvendo as derivadas parciais...

∂ P 1 ∂ θ = ∂ P ∂ x - ρ s e n   θ + ∂ P ∂ y ρ cos ⁡ θ     ( 1 )

Agora em relação a ρ :

∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ∂ x ∂ ρ + ∂ P ∂ y ∂ y ∂ ρ  

= ∂ P ∂ x ( cos ⁡ θ )   + ∂ P ∂ y s e n   θ             ( 2 )

Passo 2

Vamos fazer uns ajustes nas equações encontradas. A gente vai multiplicar a primeira por -   s e n   θ e a segunda por ρ cos ⁡ θ . Aí vai ficar:

- s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ = ∂ P ∂ x ρ s e n 2   θ + ∂ P ∂ y - ρ cos ⁡ θ   s e n   θ  

ρ cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ( ρcos 2 ⁡ θ )   + ∂ P ∂ y ρ s e n   θ cos ⁡ θ

Vamos somar as duas agora...

- s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ + ρ cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ρ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + ∂ P ∂ y - ρ cos ⁡ θ   s e n   θ + ρ s e n   θ cos ⁡ θ

- s e n   θ ∂ P 1 ∂ θ + ρ cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ = ∂ P ∂ x ρ  

∂ P ∂ x ( x , y ) = - 1 ρ s e n   θ   ∂ P ∂ x ( θ ,   ρ ) + cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ ( θ ,   ρ )

Show! Chegamos ao que queríamos mostrar.

Fazendo esse mesmo esquema, você chega na parcial de Q , que é:

∂ Q ∂ y x , y = 1 ρ cos ⁡ θ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + s e n   θ ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ

Passo 3

b)

Bom, o divergente é a soma das parciais né? Então vamos somar as duas:

d i v F → x , y = ∂ P ∂ x x , y + ∂ Q ∂ y x , y    

d i v   F → x , y = - 1 ρ s e n   θ   ∂ P ∂ x θ ,   ρ + cos ⁡ θ ∂ P 1 ∂ ρ θ ,   ρ + 1 ρ cos ⁡ θ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + s e n   θ ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ    

Vamos colocar o s e n   θ e o cos ⁡ θ   em evidência...

d i v   F → x , y = s e n   θ - 1 ρ ∂ P ∂ x θ ,   ρ + ∂ Q 1 ∂ ρ θ ,   ρ + cos ⁡ θ 1 ρ ∂ Q 1 ∂ θ θ ,   ρ + ∂ P 1 ∂ ρ θ ,   ρ

Prontinho! Do jeitinho que era pra provar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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