Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas
Teoria
Centro de massa
Podemos entender o centro de massa de um corpo como o ponto em que podemos considerar que toda a sua massa se concentra.
Como assim? Se nós temos um corpo de duas dimensões (uma placa, por exemplo) e queremos tratá-lo em um problema como uma massa pontual, esse ponto deve ser o centro de massa.
Beleza, agora vamos escrever isso matematicamente. Sendo a densidade de massa dessa placa, nós sabemos que sua massa é dada pela integração dessa função na região plana ocupada por esse corpo:
O primeiro momento em relação a é dado pela integração dessa densidade multiplicada pela distância de cada ponto da placa ao eixo (repare que essa distância é exatamente igual a ). Portanto:
Você pode interpretar essa expressão como , ou seja, a soma de cada diferencial de massa da placa multiplicado pelo seu braço de alavanca.
O momento em relação ao eixo segue o mesmo raciocínio, a distância de cada ponto da placa a esse eixo será dada por :
Então, nós temos que a coordenada do centro de massa é dada por:
Enquanto a coordenada :
Você pode pensar nessas expressões como médias ponderadas, onde o peso é a massa da placa. Como assim?
é dado pela multiplicação entre a massa do ponto e a coordenada . Se nós somamos para cada ponto da placa e dividimos pela massa total da mesma, nós temos uma “coordenada média”, certo? Esse é o conceito de centro de massa.
Vamos ver um exemplo para isso tudo ficar mais claro!
Exemplo: Encontre a coordenada do centro de massa da região plana limitada por e , que possui densidade de massa .
Passo 1
Nós sabemos que:
Portanto, precisamos de dois valores para resolver o problema: a massa e o momento .
Passo 2
Vamos calcular a massa dessa região, integrando sua densidade ao longo de :
Como é dada por e e , temos:
Passo 3
Agora, precisamos do momento:
Substituindo e e :
Passo 4
Beleza, agora temos isso aqui:
Encontramos a coordenada do centro de massa.
Bom, nesse tipo de questão, então você precisa basicamente encontrar a massa da região e o momento referente à coordenada que o problema pede e, em seguida, fazer a relação entre esses valores.
Se a questão pedir as duas coordenadas do centro de massa não há mistério nenhum, basta você calcular , e ! Para cada uma dessas grandezas você terá que montar e resolver uma integral dupla, usando os mesmos conceitos que você já conhece.
Centroide
Centroide é o centro geométrico de uma região (no caso, estamos analisando regiões planas). Da mesma forma que o centro de massa pode ser interpretado como uma média ponderada onde o peso é a massa da região, podemos ver o centroide como uma média onde o peso é a área.
Seguindo esse mesmo raciocínio, nós temos a área de uma região plana
Então, as coordenadas do centroide de uma região plana são dadas por:
Viu que é muito parecido com o centro de massa, não é? Repare que quando , as expressões são exatamente iguais. Isso quer dizer que, em regiões com densidade constante, homogênea, o centro de massa e o centroide (centro geométrico) coincidem.
Esses dois tipos de questão são extremamente parecidos, o passo a passo é o mesmo, a diferença será se a densidade aparecerá ou não nas expressões.
Você vai calcular uma integral, depois outra e, em seguida, fazer a razão entre as duas. É importante memorizar essas fórmulas! Pense nas médias ponderadas que fica mais fácil, show? : )
Centroide
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Suponha que uma lâmina com densidade ocupe a região do plano . Calcule a massa total e as coordenadas do centro de massa de .
Passo 1
Nós sabemos que:
Portanto, precisamos de três valores para resolver o problema: a massa e os momentos e .
Passo 2
Vamos calcular a massa dessa região, integrando sua densidade ao longo de :
Como é dada por e , temos:
Passo 3
Agora, precisamos dos momentos. Vamos começar por :
Vamos separar cada termo da integral acima pra ficar mais organizado.
Passo 4
Vamos ter:
Essa é um pouquinho mais chata, vamos ter que fazer uma substituição:
Então, vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
Somando tudo, vamos ter:
Passo 5
Agora vamos ver como que fica para :
Vamos calcular um por um também pra não ficar aquela bagunça toda...
Passo 6
Vamos ter:
E também:
Então é só somar:
Passo 7
Agora que já temos tudo, é só usar nossas fórmulas:
Pronto!
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-21
Encontre o centróide da região no primeiro quadrante limitada pelo eixo , pela parábola e pela reta .
Passo 1
Na teoria, a gente viu qe o centróide de uma região plana pode ser encontrado utilizado as fómulas:
Então, na verdade, o que nós temos mesmo que cálcular são essas três integrais aí, né?
Vamos ver com fica cada uma delas!
Passo 2
Vamos começar pela integral mais simples, que aparece no denominador das duas fórmulas:
A nossa região é limitada pelas curvas: , e o eixo , então vamos esboçar mais ou menos como que ela vai ficar:
Aqui podemos ver que temos uma região do tipo , com variando entre e aquele ponto de interseção, que se dá em:
Então nossa região vai ser descrita por:
Passo 3
Agora calculando mesmo a integral, vamos ter:
Agora só falta calcular as integrais dos numeradores. Vamos lá!
Passo 4
Vamos começar pela do , lembrando da fórmula:
Então o que nós queremos calcular é:
Mas já descrevemos a região, então podemos fazer:
Então, substituindo:
Passo 5
Agora vamos fazer a mesma coisa para :
E vamos substituir de novo:
Pronto, tudo feito!
Resposta
Exercício Resolvido #3
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-24
A área da região no primeiro quadrante limitada pela parábola e pela reta é de unidades quadradas. Encontre o centróide.
Passo 1
Para encontrar o centróide, vamos usar as relações:
Mas, por sorte, o enunciado já nos dá a área da região, então não precisamos calcular a integral do denominador, já que:
Então só vamos precisar calcular as integrais dos numeradores para encontrarmos nosso centróide. Vamos ver como que fica!
Passo 2
Vamos começar tentando entender melhor nossa região, já que vamos precisar descrevê-la para calcularmos nossa integral dupla.
Se esboçarmos a parábola e a reta , vamos ter algo do tipo:
Temos uma região do tipo , com variando entre e aquele ponto de interseção, que se dá em:
Então nossa região vai ser descrita por:
E agora podemos calcular nossas integrais.
Passo 3
Vamos começar pela de , lembrando a fórmula:
Então,temos que calcular:
Mas como temos nossa região descrita já, podemos fazer:
Agora, se substituirmos na fórmula lá de cima, vamos ter:
Passo 4
Agora vamos fazer a mesma coisa para :
Então vamos calcular:
Que se substituirmos na fórmula, vai nos dar:
Resposta
Exercício Resolvido #4
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 pag 413-24
Encontre o centróide da região dentro da cardióide .
Passo 1
A gente sabe calcular o centróide usando as relações:
Mas a região que nos foi dada está e coordenadas polares que, para nos lembrarmos, são:
Então, ná verdade, o que vamos calcular vai ser:
Então vamos tentar entender a região pra conseguir descrevê-la, que é só o que falta pra calcularmos as integrais!
Passo 2
Quando temos uma curva dessas complicadas com coordenadas polares, eu gosto sempre de tentar marcar uns pontos importantes pra tentar esboçar a curva mais ou menos, então vamos ver:
A curva começa com .
Para decresce de até , então decresce de até .
Para cresce em módulo de até , mas é negativo, então decresce de até .
Para decresce em módulo de até , mas é negativo, então cresce de até .
Para volta a ser positivo e cresce de até , então cresce de até , fechando a curva.
Acho que assim já da pra ter uma boa noção de como fica a curva, mas se você quiser ver como que fica ela certinha, vamos ter algo assim:
E a região vai ser descrita por:
Então agora sim podemos calcular tudo! Vamos começar com a integral do denominador que aparece nos dois termos, que é a mais simples.
Passo 3
Vamos ter:
Que, em coordenadas polares, vamos lembrar que:
Então:
Agora só falta as integrais dos numeradores, vamos ver como que é!
Passo 4
Vamos começar por :
Então vamos calcular a integral:
Que já temos a região descrita e tudo mais, então:
Eita, que contas chatas... Vamos ver cada uma separado pra não ficarmos muito perdidos.
Passo 5
A primeira:
Passo 6
Depois:
Passo 7
Mais uma:
Que fazendo pela substituição:
Passo 8
E por último:
Ufa, quanta coisa... Mas vamos ver como que fica a soma toda.
Passo 9
Somando todas aqueles nossos resultados:
Então, vamos ter que nossa coordenada vai ser:
Vamos lembrar que , então:
Agora só falta a coordenada e, sinceramente, eu espero que seja bem mais fácil, que essa foi um saco, né? Mas vamos ver!
Passo 10
Vamos lembrar a fórmula que tinhamos lá em cima:
Então só falta calcular:
Que dá pra resolver pela substituição:
Bem mais tranquilo, que sorte... haha
Mas ai vamos ver como fica o em si:
Pronto, agora sim!