Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Centro de massa
Podemos entender o centro de massa de um corpo como o ponto em que podemos considerar que toda a sua massa se concentra.
Como assim? Se nós temos um corpo de duas dimensões (uma placa, por exemplo) e queremos tratá-lo em um problema como uma massa pontual, esse ponto deve ser o centro de massa.
Beleza, agora vamos escrever isso matematicamente. Sendo a densidade de massa dessa placa, nós sabemos que sua massa é dada pela integração dessa função na região plana ocupada por esse corpo:
O primeiro momento em relação a é dado pela integração dessa densidade multiplicada pela distância de cada ponto da placa ao eixo (repare que essa distância é exatamente igual a ). Portanto:
Você pode interpretar essa expressão como , ou seja, a soma de cada diferencial de massa da placa multiplicado pelo seu braço de alavanca.
O momento em relação ao eixo segue o mesmo raciocínio, a distância de cada ponto da placa a esse eixo será dada por :
Então, nós temos que a coordenada do centro de massa é dada por:
Enquanto a coordenada :
Você pode pensar nessas expressões como médias ponderadas, onde o peso é a massa da placa. Como assim?
é dado pela multiplicação entre a massa do ponto e a coordenada . Se nós somamos para cada ponto da placa e dividimos pela massa total da mesma, nós temos uma “coordenada média”, certo? Esse é o conceito de centro de massa.
Vamos ver um exemplo para isso tudo ficar mais claro!
Exemplo: Encontre a coordenada do centro de massa da região plana limitada por e , que possui densidade de massa .
Passo 1
Nós sabemos que:
Portanto, precisamos de dois valores para resolver o problema: a massa e o momento .
Passo 2
Vamos calcular a massa dessa região, integrando sua densidade ao longo de :
Como é dada por e e , temos:
Passo 3
Agora, precisamos do momento:
Substituindo e e :
Passo 4
Beleza, agora temos isso aqui:
Encontramos a coordenada do centro de massa.
Bom, nesse tipo de questão, então você precisa basicamente encontrar a massa da região e o momento referente à coordenada que o problema pede e, em seguida, fazer a relação entre esses valores.
Se a questão pedir as duas coordenadas do centro de massa não há mistério nenhum, basta você calcular , e ! Para cada uma dessas grandezas você terá que montar e resolver uma integral dupla, usando os mesmos conceitos que você já conhece.
Centroide
Centroide é o centro geométrico de uma região (no caso, estamos analisando regiões planas). Da mesma forma que o centro de massa pode ser interpretado como uma média ponderada onde o peso é a massa da região, podemos ver o centroide como uma média onde o peso é a área.
Seguindo esse mesmo raciocínio, nós temos a área de uma região plana
Então, as coordenadas do centroide de uma região plana são dadas por:
Viu que é muito parecido com o centro de massa, não é? Repare que quando , as expressões são exatamente iguais. Isso quer dizer que, em regiões com densidade constante, homogênea, o centro de massa e o centroide (centro geométrico) coincidem.
Esses dois tipos de questão são extremamente parecidos, o passo a passo é o mesmo, a diferença será se a densidade aparecerá ou não nas expressões.
Você vai calcular uma integral, depois outra e, em seguida, fazer a razão entre as duas. É importante memorizar essas fórmulas! Pense nas médias ponderadas que fica mais fácil, show? : )