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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 28

(a) Verifique que

f x ,   y = 4 x y ,     s e   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

é uma função densidade conjunta.

(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da parte (a), determine

(i) P X ≥ 1 2 (ii) P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2

(c) Determine os valores esperados de X e Y .

Passo 1

E aí, gente bonita! Beleza?? 😊

Nessa questão, temos várias coisas pra fazer.

No item (a), precisamos verificar se existe uma função densidade conjunta quando

x ,   y = 4 x y ,     s e   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

No item (b), se tudo correr bem em (a), então precisamos determinar

i   P X ≥ 1 2

i i   P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2

Isso para as probabilidades de X e Y , ou seja, quando fizermos uma função densidade f 1 x e f 2 y .

E no item (c), descobrir os valores de X e Y , belezinha?

Vamos com calma! 😉

Passo 2

(a) Galera, pra f ser realmente uma função densidade conjunta, lembre-se que devemos ter essa fórmula aqui resultando em 1 :

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = 1

Para calcular a integral, vamos ter que fazer acima com o que temos nas nossas informações, então obteremos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x y   d y d x

Podemos dividir essa integral e organizá-la segundo seus integrantes:

∫ 0 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 y d y

Resolvendo chegaremos a

x 2 0 1   .   y 2 0 1 = 1 ⋅   1 = 1

Então f é realmente uma função densidade conjunta.

Passo 3

(b) Agora vamos calcular as seguintes probabilidades, com a mesma integral do item anterior:

Para (i), teremos

P X ≥ 1 2 = ∫ 1 2 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 y   d y

Ou seja, trocamos os limites de integração para x , então vamos resolver normalmente

x 2 1 / 2   1 ⋅   y 2 0 1 = 1 - 1 4 ⋅   1 = 3 4

E para (ii), a mesma ideia, mudando os limites de integração e resolvendo!

P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2 = ∫ 1 2 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 2 y   d y

x 2 1 / 2 1 ⋅   y 2 0 1 / 2 = 1 - 1 4 ⋅ 1 4 = 3 16

Passo 4

(c) Vamos agora calcular E X e E Y , ou seja, os valores esperados para X e Y , respectivamente, através dessas fórmulas aqui:

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x   f x ,   y   d y   d x

∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x 2 y   d y d x

Dividindo a integral como viemos fazendo e resolvendo:

∫ 0 1 2 x 2   d x ∫ 0 1 2 y d y

2 x 3 3 0 1   ⋅ y 2 0 1 = 2 3 ⋅   1 = 2 3

E agora para o outro valor:

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y   f x , y   d y   d x

∫ 0 1 ∫ 0 1 4 x y 2   d y d x

Vamos dividir essa integral mais uma vez, resolver e substituir os limites de integração em cada um:

∫ 0 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 y 2 d y

x 2 0 1 ⋅   2 y 3 3 0 1 = 1 ⋅ 2 3 = 2 3

Resposta

(a) f é uma função densidade conjunta

(b) P X ≥ 1 2 = 3 4                                         P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2 = 3 16

(c) E X = E Y = 2 3

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