Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
O momento de inércia (ou segundo momento) de uma partícula em relação a um eixo é definido como , onde é a massa da partícula e é a distância entre esse eixo e a partícula.
Se quisermos calcular o momento de inércia com relação ao eixo da placa com densidade , teremos que a distância coincide com a coordenada . Assim,
Para o momento de inércia em relação a , temos o contrário: a distância é
Então, basicamente: quando um problema pedir para você calcular o momento de inércia de uma região plana em relação a um eixo ( ou ), você vai aplicar uma dessas duas fórmulas e cair em uma integral dupla, que você vai resolver usando todos os conceitos de integral dupla que já viu até aqui.
É como uma integral qualquer! Memorize essas fórmulas, então, porque esse é o passo 1 desse tipo de questão, ok? Você vai aplicar a fórmula, montar a integral e resolvê-la.
As vezes ele pede o momento de inércia com relação a origem. Não se desespere! Basta somar os dois momentos de inércia que calculamos, ou seja
Exemplo: Dada uma fina placa limitada pela reta e pelos eixos e , sabendo que a sua densidade . Determine os momentos de inércia.
Passo 1: Primeiro vamos dar uma analisada na placa em questão:
Não importa o tipo de região que faremos, vamos escolher o tipo então, com isso:
Passo 2: Para calcular os raios de rotação vamos precisar dos momentos de inércia, né? As fórmulas são essas aqui:
Logo:
O mesmo para :
Falta achar o momento de inercia em relação à origem, como fazemos isso? É bem tranquilo, é só fazer
Logo:
Raio de Rotação
Todos os físicos, de modo geral, gostam muito de trabalhar com as questões concentrando todas informações do problema em um único ponto. Isso ajuda muito nos cálculos! O raio de rotação tem a ver com isso!
Ele nos diz a que distância de um eixo a massa total da placa pode estar concentrada em um ponto de forma a não mudar o momento de inércia. Muito abstrato, né? Por exemplo, é a distância ao eixo que um ponto com toda a massa concentrada do objeto resulta em .
Se não entendeu isso não se preocupa muito! Esse é o significado físico, vamos trabalhar muito mais com as contas aqui em cálculo, na prática é só aplicar essas fórmulas aqui!
As fórmulas que vamos usar para calcular o Raio de rotação em relação aos eixos são essas aqui:
Em relação ao eixo :
Em relação ao eixo :
Podemos também achar o raio de rotação em relação a origem, para isso é só fazer:
Exemplo
Vamos calcular o raio de rotação daquela região lá do início!
Passo 1: Para calcular os raios de rotação vamos precisar dos momentos de inércia, né? Como vimos lá em cima
Passo 3: A outra variável que precisamos calcular é a massa total da placa, dada pela fórmula
Logo:
Passo 4: Agora é só substituir tudo nas fórmulas dos raios de rotação!
Provavelmente na prova você não vai ter uma calculadora para calcular essa aproximação, só deixar como raiz mesmo. ;)
Viu que a parte demorada é calcular os momentos de inércia e a massa, né? Depois é só aplicar as fórmulas dos raios de rotação.
Agora vamos pros exercícios praticar isso um pouquinho!
Sacou a lógica? Então, vamos fazer uns exercícios!