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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 26

Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada.

D = x , y 0 ≤ y ≤ x e - x ,   0 ≤ x ≤ 2 } ; ρ ( x , y ) = x 2 y 2

Passo 1

Show de bola galera!! A questão nos pede para determinar a massa, centro de massa e momento de inércia de uma lâmina que ocupa a região D :

D = x , y 0 ≤ y ≤ x e - x ,   0 ≤ x ≤ 2 }

E possui densidade igual à:

�� ( x , y ) = x 2 y 2

E como é feito o cálculo da massa, centro de massa e momento de inércia? Temos que resolver as seguintes equações, para massa:

m = ∬ D ρ x , y d A

Enquanto o centro de massa é definido como

r ¯ = 1 m ∬ D r ρ x , y d A

Com r sendo a coordenada onde estamos calculando.

Já o momento de inercia é dado por

I r = ∬ D r 2 ρ x , y d A  

Passo 2

No máxima, faça: f = @ ( x , y )   ( x ^ 2 )   *   ( y ^ 2 ) ;

q   =   i n t e g r a l 2   ( f , 0 , ( 2 * e ) ^ - 2 ,   0,2 )

d i s p   q

m = ∬ D ρ ( x , y ) d A = ∫ 0 2 ∫ 0 x e - x x 2 y 2 d y   d x

Desta forma, usando um software de computação algébrica, temos que

m = 8 729 5 - 899 e - 6

Passo 3

Agora vamos determinar o centro de massa. Primeiro em x

x ¯ = 1 m ∬ D x ρ x , y d A = 1 m ∫ 0 2 ∫ 0 x e - x x x 2 y 2 d y   d x

Veja que estamos a equação do centro massa, substituindo o r pela coordenada que desejamos encontrar o centro de massa.

Usando o Software de computação algébrica, temos

x ¯ = 2 5 e 6 - 1223 5 e 6 - 899

Já para y

y ¯ = 1 m ∬ D y ρ x , y d A = 1 m ∫ 0 2 ∫ 0 x e - x x 2 y 3 d y   d x

Logo

y ¯ = 729 45 e 6 - 42037 e - 2 32769 5 e 6 - 899

Desta forma o centro de massa se encontra em

x ¯ , y ¯ = 2 5 e 6 - 1223 5 e 6 - 899 , 729 45 e 6 - 42037 e - 2 32769 5 e 6 - 899

Passo 4

Agora iremos calcular o momento de inércia

I x = ∬ D y 2 ρ x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 x e - x x 2 y 4 d y   d x

Assim

I x = 16 390625 63 - 305593 e 10

Agora pra y

I y = ∬ D x 2 ρ x , y d A = ∫ 0 2 ∫ 0 x e - x x 4 y 2 d y   d x

Assim

I y = 80 2187 7 - 2101 e - 6

Se quisermos somar os momentos de inércia I x e I y , obteremos I 0

Desta forma temos que

I 0 = I x + I y = 16 854296875 13809656 - 4103515625 e - 6 - 668331891 e - 10

Resposta

m = 8 729 5 - 899 e - 6

x ¯ , y ¯ = 2 5 e 6 - 1223 5 e 6 - 899 , 729 45 e 6 - 42037 e - 2 32769 5 e 6 - 899

I 0 = I x + I y = 16 854296875 13809656 - 4103515625 e - 6 - 668331891 e - 10

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Uma lâmina com densidade constante ρ x ,y = ρ ocupa a região dada. Encontre os momentos de inércia I x e I y e os raios de giração x - - e y - - do retângulo 0 ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ h .
Calcular o momento de inércia de uma quadrado de lado igual a 4 cm em relação ao eixo que passa por uma diagonal. Considerar a densidade constante.
Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos x de uma chapa delimitada por x + y = 4 ,x = 4ey = 4 . Considerar a densidade igual a uma constante igual a k
Calcular o momento de inércia de um disco circular de diâmetro 10 cm:a) Em relação ao seu próprio centrob) em relação ao seu diâmetro Considerara densidade igual uma constante K