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Integração por Partes

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Teoria

Quando integrar por partes?

Vimos como usar a substituição simples para resolver integrais, mas pra isso, precisávamos que um pedaço da nossa integral fosse igual a derivada de outro pedaço. Mas nem sempre isso vai acontecer.

Imagina que apareça a seguinte integral pra gente resolver:

∫ x cos ⁡ x d x

Nesse caso, não conseguiremos usar a substituição simples, pois não temos um pedaço que seja derivada de outro pedaço.

E aí que entra a Substituição por partes. E o importante é saber quando podemos usar esse métodos.

Nós poderemos usá-lo principalmente quando nossa integral for produto de funções de tipos diferentes (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial etc.).

∫ x ⏟ A l g é b r i c a cos ⁡ x ⏟ t r i g o n o m é t r i c a d x

No nosso caso temos o x , que é uma função algébrica, sendo multiplicando pelo cos ⁡ x , que é uma função trigonométrica.

Mas o que é a Integração por Partes?

É um método de integração que permite que a gente “separe” a nossa integral em duas partes para resolvê-la, sendo uma das partes mais fácil de integrar e a outra mais fácil de derivar.

Vamos separar nossa integral em duas partes: uma que vamos chamar de u e outra que vamos chamar de d v . E então aplicaremos a segunte fórmula:

Mas de onde surgiu esse d u e esse   v que também estão na fórmula? É ai que entra aquela história de uma função ser fácil de integrar e a outra fácil de derivar.

Na hora de escolher quem será o nosso u e quem será nosso d v , vamos escolher pra ser o u alguém que seja fácil de derivar, assim ao derivar vamos encontrar o d u . E o d v será alguém que a gente saiba integrar, pois integrando acharemos o v . Vamos resolver a integral do inicío que fica mais claro.

∫ x cos ⁡ x d x

Vamos chamar o u = x , e o d v = cos ⁡ x d x

∫ x ⏟ u cos ⁡ x d x ⏟ d v

Agora a gente deriva u :

u = x

d u d x = 1

Aqui sempre vamos passa o d x para o outro lado. Então a gente deriva e coloca o d x no final, ok? Então:

d u = d x

Agora a gente integra o d v :

d v = cos ⁡ x d x

∫ d v = ∫ cos ⁡ x d x

Integrando dos dois lados teremos:

v = sen ⁡ x

Show, é hora de substituírmos tudo na fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim teremos:

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x - ∫ sen ⁡ x d x

Só nos resta resolver aquela última integral do lado direito que é sem dúvidas muito mais fácil do que a que tínhamos antes.

Fazendo

∫ sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x + C

Encaixando esse resultado teremos o resultado da nossa integral:

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

Então o que fizemos foi transformar nossa integral complicada e uma expressão com uma inetral mais simples pra resolver.

Passo a Passo

Vamos fazer um passo a passo para a resolução de integrias desse tipo:

Passo 1: Precisamos olhar pra a nossa integral e escolher uma parte da funções que seja mais fácil de derivar chamando de u ,   e aí a que for mais fácil de integrar vamos chamar de d v . Mas como podemos escolher quem chamar de u ?

Tem uma regra que ajuda bastante nessa escolha. Vamos escolher o u na ordem: LIATE. Cada letra da palavra LIATE representa um tipo de função e a ordem será nossa preferência para a escolha do u .

Os tipo de funções são:

L → logarítmica ( ln ⁡ x )

I → inversa trigonométrica ( arcsen ⁡ x , arctg ⁡ x ,   … )

A → algébrica (ou polinomial) ( x n )

T → trigonométrica ( sen ⁡ x , cos ⁡ x , sec ⁡ x , ...)

E → exponencial ( e x )

Vamos resolver essa integral aqui pra pegar bem essa ideia:

∫ x 2 ln ⁡ x d x

Nela temos o x 2 que é uma função algébrica e o ln ⁡ x que é uma função logarítmica. Seguindo a ordem LIATE, escolhemos o ln ⁡ x como u , enquanto o x 2 d x ficará como d v .

u = ln ⁡ x     ( l o g a r í t m i c a )

d v = x 2 d x     ( a l g é b r i c a )

Passo 2: Calcular o d u derivando u , no nosso exemplo:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Passo 3: Calcular v , e pra isso vamos integrar o d v , fica assim:

∫ d v = ∫ x 2 d x

v = x 3 3

Passo 4: Substituir na fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x . x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x

Passo 5: Calcular a integral ∫ v d u que ainda ficou do lado direito. Se necessário, aplique a Integração por partes novamente nesse termo. Caso pareça que não vai dar em lugar nenhum, volte para o passo 1 e tente trocar u e d v .

No nosso caso dá pra calcular diretamente esse nova integral que apareceu!

Mas vamos antes dar uma ajeitadinha:

∫ x 3 3 1 x d x = 1 3 ∫ x 2 d x

Tiramos o 1 3 de dentro da integral, pois ele era uma constante e simplificamos o x .

Agora sim resolvemos:

1 3 ∫ x 2 d x = 1 3 x 3 3 = x 3 9

Passo 5: Encaixamos esse reultado na nossa integral original. Assim a integral original fica:

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 3 3 - x 3 9 + C

Sem esquecer da constante, hein?

E prontinho, integral resolvidíssima!

Com esse método a gente vai longe!!!

OBS: pode acontecer de nossa integral ∫ v d u também precisar de ser resolvida por outra integração por partes. Não há problemas, você separa ela em um cantinho e resolve com o mesmo métodos, depois trás o resultado de volta. Sem pânico. Lembre-se, tudo da certo no final.

Agora, é praticar bastante. Então, partiu exercícios!

Mas o que é a Integração por Partes?

Passo a Passo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a integral abaixo

∫ x e x   d x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, temos essa integral aí pra resolver e ela até não é tão feinha, mas mistrura duas funções de tipos bem diferentes. Temos ali o x , que é uma função algébrica, e temos também o e x , que é uma função exponencial.

Já que temos um produto de duas funções de tipos diferentes, vamos tentar usar a integração por partes. Lembra da fórmula para esse método?

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Nela a gente transforma essa integral que a gente não sabe resolver, em uma que a gente sabe.

E pra começar, temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . Pra saber quem a gente escolhe, seguimos a ordem LIATE para escolher u . Assim ó:

Olha pras funções que você tem na sua integral e veja qual o tipo que aparece primeiro.

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Vamos ver então na nossa integral...

Passo 2

Pela ordem de escolha vemos que nossa integral tem uma função algébrica que é a função x , ela será o nosso u .

u = x

E então o d v vai ser o que sobrou da nossa integral, no caso:

d v = e x d x

Beleza, a gente precisa agora de d u e v pra completar a fórmula. E pra isso vamos derivar u e integrar v :

d u = u '

d u = x ' = d x

v = ∫ d v

v = ∫ e x   d x = e x

Show! Agora temos os ingredientes pra jogar na nossa fórmula de integração por partes!

Passo 3

Substituindo na fórmula:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

A resposta da integral já começou a aparecer, mas veja que ainda temos uma integral pra resolver ali no final. Essa integral aqui ∫ e x   d x   é daquelas basiquinhas, no caso a integral da exponencial é a própria exponencial. Ou seja:

∫ e x   d x = e x + C

Passo 4

E aí resolvendo a última integral temos:

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

∫ x   e x   d x = x e x - e x + C

E esse é nosso resultado! Ainda podemos colocar o e x em evidência pra deixar mais bonitinho...

= e x x - 1 + C

Prontinho! Integral resolv

Resposta

A integral é

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C

Exercício Resolvido #2

Calcule ∫ 1 3 l n ⁡ ( x )   d x pelo Método da Integração por Partes

(a) 3 ln ⁡ 3 - 5

(b) l n ⁡ ( 3 )

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

(d) 2 ln ⁡ 2 - 1

(e) 2

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lembrar da fómula para a integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Mas veja que esse é um caso incomum, porque não estamos integrando um produto de duas funções, e sim apenas uma, a ln ⁡ ( x ) .

Mas tranquilo! Podemos aplicar o método mesmo assim, é só tratar a segunda função como se fosse uma constante igual a 1 ! ∫ 1 3 l n ⁡ ( x ) . 1   d x

Nesse caso, vamos fazer:

u = ln ⁡ x      

d v = 1   d x          

Passo 2

Como a gente precisa de d u e v , vamos derivar u e integrar d v :

d u = ln ⁡ x ' = 1 x   d x

v = ∫ 1   d x = x

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula para achar a integral indefinida.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x . ln ⁡ x - ∫ x ⋅ 1 x d x

Simplificando o x ⋅ 1 x , temos 1, então na verdade temos:

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x ln ⁡ x - ∫ 1   d x

Resolvendo essa última integral, teremos:

∫ ln ⁡ x . 1 d x = x ln ⁡ x - x + C

Então...

∫ l n ⁡ ( x ) = x   l n x - x + C

Passo 3

Beleza! Agora é só substituir os limites de integração x = 1 e x = 3 , lembrando que a gente substitui o valor maior e subtrai com o valor menor:

∫ 1 3 ln ⁡ x   d x

= x ln ⁡ x - x 1 3

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - 1 ln ⁡ 1 - 1

= 3 ln ⁡ 3 - 3 - ln ⁡ 1 + 1

Temos que ln ⁡ 1 = 0 , e - 3 + 1 = - 2 , então...

= 3 ln ⁡ 3 - 2

Prontinho! Esse é o valor da integral.

Resposta

(c) 3 ln ⁡ 3 - 2

Exercício Resolvido #3

Calcule a integral abaixo

∫ sen - 1 ⁡ x d x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Primeiramente a gente tem que entender esse - 1 no expoente do seno ali. Lembra o seguinte: sempre que temos - 1 num expoente, quer dizer que aquela função está ao inverso.

Então... s e n - 1 x na verdade é a inversa de s e n   x . Você lembra qual função é essa?

Essa aqui:

s e n - 1 x = a r c s e n   x

Então nossa integral na verdade é:

∫ a r c s e n   x   d x

Então vamos usá-la assim, pra poder resolver.

Passo 2

Vamos lá, a gente vai usar integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Parece estranho usar isso já que a gente não tem duas funções ali dentro, mas na verdade a gente pode colocar o 1 pra acompanha ela e fazer isso aqui:

∫ a r c s e n   x . 1 d x

E chamar:

u = a r c s e n   x

d v = 1 d x

Beleza? Vamos continuar...

Passo 3

Agora a gente precisa achar d u e v pra também usar na fórmula. Pra isso, vamos derivar u e integrar d v :

d u = a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2

(essa derivada é tabelada😉)

e

v = ∫ d v = ∫ d x = x + C

Ótimo! Agora podemos substituir isso na fórmula de integração de partes...

Passo 4

Vamos substituir aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ a r c s e n   x   d x = x a r c s e n   x - ∫ x ⋅ 1 1 - x 2 d x

= x   a r s e n   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Vamos resolver agora aquela integral que ficou ali no final...

Passo 5

Pra resolver essa:

∫ x 1 - x 2 d x

A gente pode usar uma substituição simples, chamando:

t = 1 - x 2

E fazendo:

d t =   - 2 x   d x →   - d t 2 = x   d x

E então teremos:

∫ - d t 2 t  

A gente pode retirar a constante:

= - 1 2 ∫ d t t

E escrever o 1 / t como t - 1 2 . Isso é o mesmo que:

= - 1 2 ∫ t - 1 2   d t

E aí a gente integra pela regra da potência que diz que

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então

- 1 2 ∫ t - 1 2   d t = - 1 2 t - 1 2 + 1 - 1 2 + 1

Passo 6

Pra somar aqueles expoentes ali, a gente pode escrever o 1 = 2 2 pra podermos somar as frações de boinhas:

= - 1 2 t - 1 2 + 2 2 - 1 2 + 2 2

= - 1 2 t 1 2 1 2

A gente pode simplificar os 1 2 ali ficando só com:

= - t 1 2

Que é o mesmo que:

=   - t  

Agora a gente tem que lembra que t = 1 - x 2 e voltar pra variável certa. Então:

∫ x 1 - x 2 d x =   - 1 - x 2

Ufaa! Integramos! Agora vamos voltar lá pra fórmula...

Passo 7

A gente parou aqui:

∫ a r c s e n   x   d x = x   a r s e n   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Vamos substituir o valor da integral que a gente calculou:

= x   a r c s e n   x - - 1 - x 2

= x   a r c s e n   x + 1 - x 2

Só falta somar a constante agora, já que temos uma integral indefinida!

= x   a r c s e n   x + 1 - x 2 + C

Agora sim! Terminamos😉

Resposta

x   a r c s e n   x + 1 - x 2 + C

Exercício Resolvido #4

Calcule a integral abaixo

∫ p 5 ln ⁡ p d p

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes, temos um polinômio p 5 , que é uma função algébrica, e uma função logarítmica ln ⁡ p . Isso indica o uso da integração por partes, ok? Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v .

Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica.

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem:

  • Logarítmica
  • Inversa Trigonométrica
  • Algébrica ou (polinomial)
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Ao fazer a escolha, nós teremos que substituir todos os termos da fórmula, então precisaremos de u e d u , d v e v . Teremos então:

u = ln ⁡ p d u =   ? d v = p 5 d p v =   ?

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = p 5 d p v = ∫ p 5 d p = p 6 6 u = ln ⁡ p d u = 1 p d p

(A gente integrou pela regra da potência, e derivou pela tabelinha normal😊)

Vamos seguir agora...

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ p ⏟ u p 5 d p ⏟ d v = ln ⁡ p ⏟ u p 6 6 ⏟ v - ∫ p 6 6 ⏟ v 1 p d p ⏟ d u

=   p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 ∫ p 5 d p

Resolvendo aquela integralzinha ali, pela regra da potência, temos:

= p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 p 6 6 + C

Ou seja:

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C

Não pode esquecer da constante, hein!

Prontinho! Já acabamos😉

Resposta

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C

Exercício Resolvido #5

Aplicando-se os conceitos da Integração por partes calcule:

∫ x 2 e x d x

Passo 1

E aí, tudo joia? Bora ver mais essa aqui?

Olha só, como o próprio problema sugere, vamos utilizar integração por partes, beleza? Isso porque temos um produto de duas funções de tipos diferente, tempos uma função algébrica x 2 , e uma função exponencial e x .

Lembra que a gente tem essa fórmula aqui pra calcular:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . Pra saber quem a gente escolhe, seguimos a ordem LIATE para escolher u . Assim ó:

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Então a gente vai escolher u = x 2 e d v = e x .

Passo 2

Para aplicar na fórmula a gente ainda precisa de d u e v . Então vamos derivar u e integrar d v :

d u = x 2 ' = 2 x

v = ∫ e x   d x = e x

Agora que já temos tudo que precisávamos, a gente monta nossa integral por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

Ficamos com essa última integral pra resolver. Podemos retirar a constante 2 da integral:

= x 2 e x - 2 ∫ x e x  

Passo 3

Repara que essa última integral também é um produto de funções de tipos diferentes. Então nesse caso, a gente aplica integração por partes de novo. Mas fica tranquilo, vai ser de boa, a gente vai seguir os mesmos passos que a gente fez ali em cima...

Vamos escolher:

u = x

d v = e x

A gente precisa agora de d u e v , vamos derivar u e integrar v :

d u = x ' = d x

v = ∫ e x   d x = e x

Passo 4

E aí:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

= x e x - e x + C

Show! Agora a gente vai substituir esse resultado lá na integral do passo anterior...

Passo 5

Vamos substituir aqui:

(pode deixar a constante pra colocar no final)

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

= x 2 e x - 2 x e x - e x

= x 2 e x - 2 x e x + 2 e x

A gente ainda pode colocar o e x em evidência, já que ele está em todos os termos:

= e x ( x 2 - 2 x + 2 )

Agora somamos a constante e FIM!

∫ x 2 e x d x = e x x 2 - 2 x + 2 + C

Nessa a gente precisou fazer duas integrações por partes, uma dentro da outra, e isso é até bem comum, então o jeito e seguir com bastante atenção na hora da resolução.

Resposta

∫ x 2 e x d x = e x x 2 - 2 x + 2 + C

Exercício Resolvido #6

Calcule a integral abaixo

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x

Passo 1

Bora fazer mais essa?

Como a gente tem um produto entre duas funções, vamos usar Integração por Partes, que tem essa fórmula aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora vamos recorrer ao LIATE pra ver a ordem de escolha do u :

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Na nossa integral temos uma parte algébrica, que é o x 2 , e uma trigonométrica, o cos ⁡ 3 x , certo? Pela ordem então, a melhor escolha é:

u = x 2

d v = cos ⁡ 3 x   d x

Passo 2

Pra aplicar na fórmula, ainda precisamos de d u e v . Então vamos derivar u e integrar d v :

d u = x 2 ' = 2 x

v = ∫ d v = ∫ cos ⁡ 3 x   d x

Nessa integral de cos ⁡ 3 x , precisaremos fazer uma substituição simples. Vamos fazer t = 3 x     e d t = 3   d x → d t 3 = d x , aí teremos:

v = ∫ cos ⁡ t   d t 3   = 1 3 ∫ cos ⁡ t = 1 3 s e n   t

Voltando pra x :

= 1 3   s e n   3 x  

Beleza, agora temos todos os pedacinhos, vamos montar nossa fórmula...

Passo 3

Vamos substituir aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 - ∫ sen ⁡ 3 x 3 ( 2 x )   d x

Arrumando...

= x 2 s e n   3 x 3 - 2 3 ∫ x   s e n   3 x   d x

Bommm... chegamos numa integral que também é um produto entre duas funções de tipos diferentes, essa aqui:

∫ x   s e n   3 x   d x

E aí... a gente vai ter que usar Integração por partes de novo! Sim, isso pode acontecer, mas não se desespere! Vamos resolver essa no cantinho. Vem comigo...

Passo 4

Pra resolver ∫ x   s e n   3 x   d x

Vamos ter que usar Integração por Partes novamente:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aí vamos fazer o mesmo esquema que fizemos ali em cima...

Vamos fazer então u = x e d v = sen ⁡ 3 x d x :

d u = d x e v = ∫ s e n   3 x   d x =   - cos ⁡ 3 x 3

Vamos substituir agora:

∫ x sen ⁡ 3 x   d x = x - cos ⁡ 3 x 3 - ∫ - cos ⁡ 3 x 3   d x

Vamos retirar a constante na integral:

= - x cos ⁡ 3 x 3 + 1 3 ∫ cos ⁡ 3 x   d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 5

Na verdade, a gente já até resolveu essa integral ali em cima!

∫ cos ⁡ 3 x   d x =   1 3   s e n   3 x  

Então substituindo, temos:

∫ x sen ⁡ 3 x   d x = = - x cos ⁡ 3 x 3 + 1 3 1 3   s e n   x

=   - x cos ⁡ 3 x 3 + s e n   x 9

Passo 6

Vamos substituir isso naquela primeira que a gente parou lá no passo 3:

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 s e n   3 x 3 - 2 3 ∫ x   s e n   3 x   d x

= x 2 s e n   3 x 3 - 2 3 - x cos ⁡ 3 x 3 + s e n   x 9  

Fazendo a multiplicação distributiva do - 2 3 :

= x 2 s e n   3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2   s e n   x 27

Prontinho! Integral calculada! Agora só falta somar a constante já que temos uma integral indefinida😉

x 2 s e n   3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2   s e n   x 27 + C

Agora acabamos.

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ 3 x   d x = x 2 sen ⁡ 3 x 3 + 2 x cos ⁡ 3 x 9 - 2 sen ⁡ 3 x 27 + C

Exercício Resolvido #7

Calcule a integral abaixo

∫ arctg ⁡ 4 t d t

Passo 1

E aí, tudo bem?

A gente não sabe calcular essa integral assim de cara né? Então vamos usar Integração por Partes, quem tem essa cara aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos decidir quem da nossa integral nós vamos chamar de u e qual vamos chamar de d v .

Passo 2

Como não sabemos integrar a r c t g   4 t , ele vai ser nosso u , aí basta derivar e teremos o d u :

u = arctg ⁡ 4 t

d u = 4 1 + 4 t 2 d t

E então nosso d v = d t , e integrando temos:

d v = d t

v = t

Show! Vamos substituir na fórmula agora!

Passo 3

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - ∫ t 4 1 + 4 t 2 d t

Precisaremos resolver essa última integral. E pra ajudar a gente com isso, podemos fazer a multiplicação dela por 8 em cima e embaixo, sem alterar a integral:

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 8.4 t 1 + 16 t 2 d t

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t

Com essa multiplicação, teremos uma integral um pouco mais simples de resolver, porque poderemos fazer uma substituição simples, vamos lá.

Passo 4

Agora vamos usar uma substituição:

u = 1 + 16 t 2

d u = 32 t   d t

Vamos substituir agora:

∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t = ∫ 1 u   d u

E essa aí é daquelas basiquinhas que tem até nas tabelinhas!

Passo 5

Resolvendo aquela integral ali de cima:

∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t = ∫ 1 u   d u = ln ⁡ u + C

= ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

Passo 6

Agora a gente volta esse resultado na expressão do Passo 3:

∫ arctg ⁡ 4 t d t

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ∫ 32 t 1 + 16 t 2 d t

= t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

E prontinho! Resolvemos nossa integral😉

Resposta

∫ arctg ⁡ 4 t d t = t arctg ⁡ 4 t - 1 8 ln ⁡ 1 + 16 t 2 + C

Exercício Resolvido #8

Calcule a integral abaixo

∫ x 2   s e n a x d x

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora ver mais essa integral aqui!

∫ x 2   s e n a x d x

Temos uma multiplicação entre funções diferentes, então uma boa ideia é usar integração por partes, que tem essa forma aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos começar decidindo quem é u e quem é d v na nossa integral...

Passo 2

Vamos chamar:

u = x 2

d v = s e n a x d x

Na fórmula de integração pro partes precisamos de d u e de v também. Derivando u e integrando d v , temos:

d u = 2 x d x

v = - 1 a c o s ⁡ ( a x )

Passo 3

Vamos substituir agora na fórmula de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 s e n a x d x = x 2 - 1 a cos ⁡ a x - ∫ - 1 a cos ⁡ a x 2 x d x

Arrumando um pouco:

= - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a ∫ x c o s a x d x

Passo 4

Agora sobrou uma outra integral que temos que fazer por partes de novo, que é essa aqui

∫ x c o s a x d x

Então as substituições são:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ a x d x → v = 1 a s e n a x

A integral vai ficar

∫ x c o s a x d x = x 1 a s e n a x - ∫ 1 a s e n a x d x

E a última integral dá pra fazer com uma substituição simples e teremos: 😉

∫ x c o s a x d x = x 1 a s e n a x - 1 a - 1 a cos ⁡ a x

∫ x c o s a x d x = x a s e n a x + 1 a 2 cos ⁡ a x

Passo 5

Juntando tudo ficamos com:

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a ∫ x c o s a x d x

= - x 2 a cos ⁡ a x + 2 a x a s e n a x + 1 a 2 cos ⁡ a x

Agora vamos fazer a multiplicação distributiva do 2 a , ficando com:

= - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x

Não pode esquecer a constante de integral, hein!

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x + C

Prontinho! Integral calculada.😉

Resposta

∫ x 2 s e n a x d x = - x 2 a cos ⁡ a x + 2 x a 2 s e n a x + 2 a 3 cos ⁡ a x + C

Exercício Resolvido #9

Calcule a integral abaixo

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d x

Passo 1

Opa, fala aii! Vamos continuar com nossos estudos de integrais por partes!

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções.

Como fazer então? Temos um jeitinho especial para fazer aparecer, vejam só, vamos colocar o 1 ali multiplicando, e ele será nossa função algébrica dentro da integral:

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⋅ 1 d x

Passo 2

Agora temos um produto de uma função algébrica, com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v .

Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = 1 d x v =   ? u = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) d u =   ?

Aqui nós podemos usar a dica do LIATE para escolher u na seguinte ordem:

  • Logarítmica
  • Inversa Trigonométrica
  • Algébrica ou (polinomial)
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Passo 3

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u .

Vamos começar integrando d v

d v = 1 d x       →             v = ∫ 1 d x = x + C

Agora, derivando u , temos

u = ln ⁡ 2 x + 1

Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, lembrando que ela é desse jeitão aqui:

( f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Agente faz a derivada da de fora vezes a derivada da de dentro

Show, vamos dar nome aos bois então, na nossa função, temos que

f x = ln ⁡ x → f ' x = 1 x

g x = 2 x + 1 → g ' x = 2

f ' g x = 1 2 x + 1

Agora que achamos f ' g x e g ' ( x ) vamos colocar na nossa regra da cadeia

f g x ' = 1 2 x + 1 ⋅ 2

Então temos que

d u = 2 2 x + 1 d x

Podemos simplificar o 2 em cima e embaixo.

d u = 1 x + 1 2 d x

Passo 4

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes.

Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Achamos os termos no passo anterior, então temos

∫ ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⏟ u 1 d x ⏟ d v = ln ⁡ ( 2 x + 1 ) ⏟ u x ⏟ v - ∫ x ⏟ v 1 x + 1 2 d x ⏟ d u

Ajeitando isso daí, temos:

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ ( 2 x + 1 ) - ∫ x x + 1 2 d x

Passo 5

Vamos dar uma olhadinha nessa integral:

∫ x x + 1 2 d x

O que a gente vai fazer é somar e subtrair   1 2 no numerador, se liga aqui:

= ∫ x + 1 2 - 1 2 x + 1 2 d x

Podemos separar isso em duas frações

= ∫ x + 1 2 x + 1 2 - 1 2 x + 1 2 d x

Separando isso em duas integrais, temos:

= ∫ x + 1 2 x + 1 2 d x - ∫ 1 2 x + 1 2 d x

Opa, na primeira a gente tem o numerador igual ao denominador e na segunda podemos pegar essa constate ( 1 2 ) e passar pra fira da integral, ficando com:

= ∫ 1 d x - 1 2 ∫ d x x + 1 2

A primeira integral é de boinhas e a segunda a gente vai fazer uma substituição simples!

u = x + 1 2

d u = d x

Então ficamos com:

= ∫ 1 d x - 1 2 ∫ d u u

Isso da

x - 1 2 ln ⁡ u

Como u = x + 1 2 , nosso resultado fica:

= x - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Passo 6

Agora substituímos o resultado achado.

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - ∫ x x + 1 2 d x

= x ln ⁡ 2 x + 1 - x - 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Dando um jeitinho nos sinais, ficamos com:

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Não pode esquecer da constante, hein. 😊

Resposta

∫ ln ⁡ 2 x + 1 d x = x ln ⁡ 2 x + 1 - x + 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + C

Exercício Resolvido #10

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t

Passo 1

Faaaaala! Vamo que vamo que é nossa reta final de integração por partes

O enunciado já nos deu o caminho das pedras. Precisamos calcular a integral dada fazendo primeiro uma substituição, e em seguida tentando uma integração por partes.

Antes de tentarmos integrar, vamos lembrar que s e n   2 t = 2   s e n   t cos ⁡ t . Assim,

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ 0 π cos ⁡ t   e cos ⁡ t   s e n   t   d t

Fazendo a substituição

x = cos ⁡ t → d x = - s e n   t   d t

e, além disso, vamos mudar os limites de integração já que estamos mudando a variável de integração.

t = 0 → x = cos ⁡ 0 →   x = 1

t = π → cos ⁡ π → x = - 1

Passo 2

Desta forma, nossa integral pode ser escrita assim:

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ 1 - 1 x   e x   - d x

Podemos também, trocar o sinal da integral, invertendo os limites de integração!! Ficando com:

= 2   ∫ - 1 1 x   e x   d x

Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes, pois temos um produto de duas funções de tipos diferentes:

Lembra da fórmula?

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 3

Queremos resolver a integral ∫ - 1 1 x   e x   d x .

Para isso, vamos chamar de

u = x

d v = e x

Assim,

d u = d x

v = e x

Colocando isso na fórmula de integração por partes, temos:

∫ - 1 1 x   e x   d x = x   e x - 1 1 - ∫ - 1 1 e x   d x

Aplicando os limites e resolvendo a integral, ficamos com:

= 1 e 1 - - 1 ⋅ e - 1 - e x - 1 1

Isso dá pra gente:

= e + 1 e - e + 1 e

= 2 e

Passo 4

Maaaaaaaaaaaas calma ai! Lembra que a nossa integral é

2   ∫ 0 π cos ⁡ t   e cos ⁡ t   s e n   t   d t

Então temos que multiplicar esse valor que achamos por 2

∫ 0 π e cos ⁡ t   s e n   2 t   d t = 2   ∫ - 1 1 x   e x   d x = 2 ⋅ 2 e = 4 e

Agora sim hehe!

Resposta

4 e