Introdução e Propriedades das Integrais

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Teoria

A Integral como Antiderivada:

Fala aí, tudo certinho? Vamos dar início aos nossos estudos de integrais. E pra começar a entender o conceito de integral, vamos tentar responde a seguinte pergunta:

Qual a função que quando a gente deriva resulta em f x = 2 x ?

Pra responder essa pergunta podemos buscar as regras de derivação e tentar fazer o caminho inverso. Assim poderemos ver que a função que estávamos procurando era a F x = x 2 . Isso porque:

E aqui entra um dos conceitos principais da Integral:

“A integração é a operação inversa da Derivação”

E nós iremos representar a integral da seguinte forma:

∫ f ( x ) d x

Essa cobrinha significa a integral, e o d x que colocamos depois da função vai dizer pra gente em qual variável estamos integrando, no caso em x , mas poderia ser em y , em t , ou qualquer outra variável.

Só que aqui temos um detalhe bem importante. Você saberia dizer quais as derivadas das seguintes funções?

F x = x 2 + 2

G x = x 2 - 3

H x = x 2 + π

Bom, você concorda que todas elas possuem a mesma derivada, o 2 x ? Isso porque os valores que estão somando ou subtraindo o x 2 são apenas constantes, e quando derivarmos essas constantes elas irão desaparecer, pois a derivada de constante é igual a zero.

Com isso, para que possamos levar em consideração esses possíveis valores constantes que poderiam estar ali ao fazer uma integração indefinida, nós sempre acrescentaremos o C ao final do resultado. então:

∫ 2 x d x = x 2 + C

Esse C vai representar todos esses valores constante que poderiam estar somando ou subtraindo o x ² .

E assim fomos capazes de calcular nossa primeira integral indefinida, que também pode ser chamada de primitiva da função 2 x !

Mas nós sabemos que daria um trabalhão danado sempre ter que ficar pensando qual a função que quando a gente deriva resulta no valor que estamos integrando. Relaxa que não teremos que fazer isso toda vez. Uma vez ou outra, talvez a gente precise sim, mas no geral existem regras específicas de integração para cada tipo de função, e nós iremos ver as principais agora.

  • Integral de Função Constante:
  • Você se lembra o que acontecia quando a gente derivava uma função desse tipo aqui:

    f x = 3 x

    Bom a derivada dela é:

    f ' x = 3

    O x desaparece sobrando só o 3 como derivada. Como na integral estamos fazendo o processo inverso da derivação, ao integrar uma função constante, vamos devolver o x que ela perdeu na derivada. Assim:

    ∫ 3 d x = 3 x + C

    Veja outros exemplos:

    ∫ 1 2 d x = 1 2 x + C

    ∫ - 5 d x = - 5 x + C

    ∫ π d x = π x + C

    E assim por diante...

    É só dar um x de presente para a constante, e não esquecer de colocar nossa constante de integração C no final.

  • Integral de Função Polinomial:
  • Assim como na derivação, para integrar uma potência x n temos uma regra específica que diz que a integral será a potência acrescida de uma unidade no expoente e dividida pelo novo expoente. Assim:

    Sem dúvidas, essa é uma das principais regras de integração então bastante atenção aqui. E não vale esquecer a constante C , hem.

    Vamos ver um exemplo:

    ∫ x 3 d x

    Veja que quem está no lugar do n é o expoente 3. Então, aplicando a regra da integração de potência, teremos:

    ∫ x 3 d x = x 3 + 1 3 + 1 + C

    ∫ x 3 d x = x 4 4 + C

    E se a potência estiver no denominador, também pode? Assim:

    ∫ 1 x 6 d x

    Bom nessa caso, você primeiro sobe a potência para o numerador colocando o expoente com o sinal trocado, e aí sim você faz a integração. Assim:

    ∫ x - 6 d x = x - 6 + 1 - 6 + 1 + C

    ∫ x - 6 d x = x - 5 - 5 + C

    Então podemos fazer a integração com essa regra a quase todas as potências, a única exceção será a função f x = 1 x . Veremos ela, mais a frente nos próximos tópicos.

    Propriedades das Integrais

    Propriedade 1

    Já vimos como calcular a integral de algumas funções, mas e se precisarmos integrar uma soma ou uma subtração delas, dessa forma:

    ∫ x 3 + x 2 - x d x

    Será que existe uma regra específica? Existe sim, e mais que uma regra, é uma propriedade da integral que diz que quando precisarmos integrar uma soma ou uma subtração de funções, nós podemos abrir a integral em várias integrais menores e integrar cada termo separadamente.

    Assim, pra resolver faremos:

    ∫ x 3 + x 2 - x d x

    = ∫ x 3 d x + ∫ x 2 d x + ∫ x d x

    E resolveremos cada uma das integrais:

    = x 4 4 + x 3 3 - x 2 2 + C

    Não esqueça da constante de integração C , e de arrumar os sinais.

    Assim:

    ∫ x 3 + x 2 - x d x = x 4 4 + x 3 3 - x 2 2 + C

    Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

    Onde abrimos a soma ou a subtração.

    Propriedade 2

    Às vezes nossas funções podem ter uma multiplicação por constante, com em 4 x 2 , o 4 está multiplicando a função x 2 . Essa constante não vai influenciar no cálculo da integral, então nós poderemos tirar ela de dentro da integral colocando-a na frente multiplicando. Veja o exemplo:

    ∫ 4 x 2 d x = 4 ⋅ ∫ x 2 d x

    E agora a gente resolve a integral normalmente, e leva a constante multiplicando o resultado:

    4 ⋅ ∫ x 2 d x

    4 ⋅ x 2 + 1 2 + 1 + C

    = 4 ⋅ x 3 3 + C

    Podemos resumir essas propriedade da seguinte forma:

    Essas duas são as propriedades mais importantes e as que mais nós iremos utilizar, então pra você ficar fera em integrais, é sempre bom fazer bastante exercícios.

    Integrais Definidas

    Bom, vimos várias integrais até agora, mas todas elas eram integrais indefinidas. Mas o que significa isso?

    Isso quer dizer que não temos limites de integração, então o resultado da integral será uma função encontrada na resolução.

    Como quando fazemos:

    ∫ x 7 d x = x 8 8 + C

    Agora falaremos da integral definida, nesse caso, haverá limites de integração e isso fará com que a solução encontrada seja um valor. Esse valor terá interpretações geométricas que veremos mais à frente em nossos estudos de integral. Por agora, o importante é aprender a calcular uma integral definida. E para isso usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

    Ela será representada dessa forma:

    ∫ a b f ( x ) d x = F b - F a

    Onde esses a e b são os limites de integração e formam o intervalo de integração. Nós lemos de baixo pra cima (integral de f ( x ) indo de a até b ).

    O TFC nos diz que o resultado de uma integral definida em um intervalo [ a , b ] é igual ao resultado da integral calculado no limite superior, menos o resultado da integral calculado no limite inferior.

    Então, primeiro a gente calcula a integral normalmente, como se fosse uma integral indefinida, e depois a gente aplica os limites de integração. Vamos ver um exemplo pra ficar um pouco mais claro:

    Exemplo:

    ∫ 1 2 x 2 d x

    Calculamos a integral normalmente, usando a regra do expoente. Detalhe importante: quando a integral é definida, NÃO precisamos acrescentar a constante de integração C . Então:

    ∫ 1 2 x 2 d x = x 3 3

    Depois da integral resolvida, nós colocamos uma barra no final com os limites de integração:

    x 3 3 | 1 2

    Agora nós repetimos a função trocando o x pelo limite superior ( 2 ) , colocamos o sinal de menos e repetimos a função novamente, mas agora trocando o x pelo limite inferior ( 1 ) . Assim:

    2 3 3 - 1 3 3

    Bom, isso virou uma expressão numérica, e só precisaremos resolvê-la agora, ficando com:

    8 3 - 1 3 = 7 3

    Prontinho. O resultado da integral é 7 3 .

    E assim nós seguiremos sempre esse passo a passo para resolver uma integral definida:

  • Calculamos a integral normalmente;
  • Colocamos a barra ao final com os limites de integração;
  • Repetimos a função substituindo os valores de x pelo limite superior;
  • Subtraímos a função com os limites inferiores no lugar de x ;
  • Resolvemos a expressão que aparecer;
  • Então teremos nosso resultado.

Serão muitos os exercícios que teremos que fazer integrais definidas, então siga esse passo a passo que não terá erro!

E depois de tudo isso, nada melhor que fazer bastante exercícios pra fixar bem essa matéria tão importante.

Propriedades das Integrais

Integrais Definidas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva a integral:

∫ ( 2 x + x 2 - 7 x + 12 )   d x

Passo 1

Fala aí, beleza. Nossa primeira integral!! Vamos lá!

A primeira coisa que precisamos entender é que a integral é a operação inversa da derivada. Então, no fundo, essa integral só está fazendo uma pergunta pra gente:

“Qual é a função, que quando derivada, dá “ 2 x + x 2 - 7 x + 12 ”?

Antes de começar a integrar, vamos ver se essa função aí dentro pode ser simplificada. Vamos dar uma reorganizada nos termos.

∫ x 2 + 2 x - 7 x + 12 d x

Olha só. Podemos juntar os termos semelhantes substraindo o 2 x e o 7 x , assim nossa integral vai ficar um pouco menor.

∫ x 2 - 5 x + 12 d x

Agora podemos começar a integrar.

Passo 2

Pra resolver essa integral, a primeira coisa que precisamos entender é que podemos separar aquelas somas e subtrações em integrais menores. Assim, uma integral grande se transforma em várias integrais pequenininhas.

Ficaria assim:

∫ x 2 d x -   ∫ 5 x d x + ∫ 12 d x

Por enquanto vamos olhar aquele ‘ d x ’ ali só como uma notação. É como se ele estivesse “fechando” cada integral.

Além disso, também é importante sabermos que as constantes (no caso o 5 e o 12), não vai interferir na integral. Então podemos colocar essas contantes fora da integral.

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 ∫ d x

Passo 3

Ok. Vamos começar a nossa integral olhando ali pro último termo.

Aquela integral parece vazia, né? Pois é. Mas, na verdade, tem um número 1 , escondido ali dentro. Então podemos escrever assim:

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Vamos pensar na pergunta que a integral faz pra gente. Qual função, que quando derivada, dá 1 ? Nesse caso, seria a função x , certo? Quando derivamos x , encontramos 1 .

Com isso a gente já resolve essa última integral, ficando com:

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 x

Passo 4

Agora, nas integrais restantes, temos potências de x . E, pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de x .

A regrinha é: soma 1 no expoente e divide pelo resultado que encontrármos no novo expoente. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Aplicando isso em nossas integrais, teremos:

∫ x 2 d x -   5 ∫ x d x + 12 x

x 2 + 1 2 + 1 -   5 x 1 + 1 1 + 1 + 12 x

Resolvendo:

x 3 3 -   5 x 2 2 + 12 x

Passo 5

Mas peeeraí que a gente ainda não acabou. Falta só uma coisinha e prometo que é bem simples.

Lembra que a derivada de qualquer contante é igual a 0 ? Pois é. Por isso, sempre que terminarmos de calcular uma integral, temos que colocar uma constante genérica no final, pois pode ser que ela existisse antes e sumiu ao ser derivada.

Chamamos esse cara de Constante de Integração. Fica assim, olha:

x 3 3 -   5 x 2 2 + 12 x + K

Os símbolos mais comuns pra Constante de Integração são K ou C , mas independente do que escolher, não pode esquecer, combinado??

Prontinho! Fechamos!

Resposta

A integral indefinida é x 3 3 - 5 x 2 2 + 12 x + K , onde K é a Constante de Integração.

Exercício Resolvido #2

Calcule a integral

∫ x 3 + 2 x - 3 x 7 d x

Passo 1

Aqui, temos uma integral polinomial, bora resolver isso aí:

∫ x 3 + 2 x - 3 x 7 d x

Lembra que a integral da soma é o mesmo que a soma das integrais, certo? Então podemos reescrever isso assim:

∫ x 3 + 2 x - 3 x 7 d x = ∫ x 3 d x + ∫ 2 x   d x - ∫ 3 x 7 d x

Passo 2

Até aí tranquilo, vamos agora lembrar de como resolvermos essa integral? Temos o caso

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Então podemos já resolver cada uma das integrais.

∫ x 3 d x

Nesse caso temos n = 3

Então

∫ x 3 d x = x 3 + 1 3 + 1 + C

= x 4 4 + C

Passo 3

Agora:

∫ 2 x   d x

Como temos uma constante na frente, podemos tirá-la de dentro da integral. E teremos:

2 ∫ x   d x

Observa então que pra esse caso n = 1 .

2 ∫ x d x = 2 ∙ x 1 + 1 1 + 1 + C

= 2 x 2 2 + C

Simplificando o 2 de cima como 2 de baixo:

= x 2 + C

Passo 4

Por último, mas não menos importante

∫ 3 x 7 d x

Vamos tirar a constante de dentro

3 ∫ x 7 d x

Temos então n = 7 .

3 ∫ x 7 d x = 3 ∙ x 7 + 1 7 + 1 + C

= 3 x 8 8 + C

Passo 5

Agora é só somar isso aí

∫ x 3 d x + ∫ 2 x   d x - ∫ 3 x 7 d x

= x 4 4 + 2 x 2 2 - 3 x 8 8 + C

Resposta

x 4 4 + 2 x 2 2 - 3 x 8 8 + C

Exercício Resolvido #3

Seja m um número positivo. Considere a integral definida dada a seguir

∫ 1 m x   d x = 3 2

Pode-se afirmar que o valor da integral está correto se m for igual a:

(a) 1 / 2

(b) 4

(c) 2

(d) 1

(e) 3

Passo 1

Como vocês estão, pessoal? Prontos para um exercício de integral cheio de novidades?

Esse exercício quer que a gente calcule quanto vale aquele m pequenininho na integral.

Mas o que é exatamente esse m e esse 1 que estão na integral?

∫ 1 = ? m = ? x d x = 3 2

Eles são chamados de limites de integração.

Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!

Mas relaxa, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.

Por isso, no próximo passo nós vamos começar integrando normalmente.

Passo 2

Só temos o x dentro da integral. Para integrar o x , precisamos lembrar que ele é igual a x 1 . Ou seja, precisamos lembrar que o expoente de x vale 1 .

∫ 1 m x   d x = ∫ 1 m x 1   d x

Para integrar o x elevado a algum número, usamos a regra de integração para potências abaixo.

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

O n dessa regra é o expoente do x na integral. No nosso caso n vale 1 , porque o expoente do x é 1 . Aplicando essa regra na nossa integral, encontramos:

∫ 1 m x   d x = x 1 + 1 1 + 1 1 m = x 2 2 1 m

Os números pequenos permanecem para mostrar os limites de integração.

No próximo passo nós vamos aprender o que fazer com eles!

Passo 3

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o x pelos dois limites! Em outras palavras nós vamos trocar o x por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o x pelo limite de cima (pelo m ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 1 ). A regra de troca do x é mostrada abaixo.

F l i m i t e   d e   c i m a - F l i m i t e   d e b a i x o

Vai ficar assim:

x 2 2 1 m

= m 2 2 - 1 2 2

= m 2 2 - 1 2

E esse é o resultado da nossa integração. Mas o enunciado nos disse que esse resultado era igual a 3 2 . Como queremos descobrir o valor de m , vamos transformar essas informações em uma equação:

∫ 1 m x   d x = 3 2

m 2 2 - 1 2 = 3 2

Jogando o 1 2 para o outro lado da equação e fazendo ele somar com 3 2 , achamos:

m 2 2 = 1 2 + 3 2

m 2 2 = 4 2

Passando o número 2 do lado esquer para o lado direito:

m 2 = 4 2 ⋅ 2

m 2 = 4

Aplicando a raiz quadrada nos dois lados da equação, ela vira:

m 2 = 4

m = ± 2

Como m é o limite superior, ele dever ser maior que o que está na parte de baixo da integral, que é o 1. Logo m vale 2 , a resposta certa é a letra (c).

Parabéns, pessoal! Mais um exercício pra conta.

Resposta

Letra (c).

Exercício Resolvido #4

Se f 1 = 12 , f ' é contínua e ∫ 1 4 f ' x d x = 17 , qual é o valor de f ( 4 ) ?

Passo 1

Bora ver mais essa? Sei que ela está bem embolada, mas vamos no passo a passo que você vai ver que não é tão difícil quanto parece.

Você se lembra da parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo? Não? Então vamos lembrar, ele diz o seguinte:

∫ a b f x d x = F b - F a

Quando

F ' = f

Ou assim ó:

∫ a b f ' x d x =   f b - f ( a )

Passo 2

Trazendo isso pro nosso caso:

∫ 1 4 f ' x d x = f 4 - f 1

Pelo enunciado a gente tem que:

∫ 1 4 f ' x d x = 17

f 1 = 12

Vamos substituir isso então!

Passo 3

Substituindo...

∫ 1 4 f ' x d x = f 4 - f 1

17 = f 4 - 12

Agora vamos isolar o f ( 4 ) :

f 4 = 17 + 12

f 4 = 29

Prontinho! Encontramos o que nos pediram😊

Resposta

f 4 = 29

Exercício Resolvido #5

Verifique, por derivação, que a formula está correta

∫ x x 2 + 1 d x = x 2 + 1 + C

Passo 1

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!

Lembra que se integramos uma função encontramos sua primitiva? A primitiva já nos foi dada, que no caso é   x 2 + 1 + C . O que a questão quer de nós é que verifiquemos se essa primitiva, realmente é a primitiva da função dentro da integral. Tranquilo?

Podemos reescrever x 2 + 1 + C   como:

x 2 + 1 1 2 + C

O próximo passo é derivar isso aí.

Se lembra da regra da cadeia? Por que é ela que vamos usar agora. Derivada da função que está fora (a raiz) e multiplicando pela derivada da função de dentro!

f x = x 2 + 1 1 2 + C

f ' x = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 ⋅ 2 x + 0

Lembrando que o 0 vem da derivada da constante

Como o expoente está negativo, vamos jogar o parênteses para o denominador pra deixa-lo positivo.

f ' x = x x 2 + 1 1 2

E como é elevado a 1 2 podemos escrever em forma de raiz:

f ' x = x x 2 + 1

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado.

Resposta

f ' x = x x 2 + 1

Exercício Resolvido #6

A área marcada B é três vezes a área marcada A. Expresse b em termos de a.

Passo 1

Bom, aqui nós queremos achar b em termos de a . Mas antes vamos lembrar que o problema nos disse:

A B = 3 A A

(a área de B é 3x a área de A ).

Se lembram como calcular a área abaixo de um gráfico?

Usando a integral, não é? Então podemos escrever:

∫ 0 b e x . d x = 3 ∫ 0 a e x . d x

Integrando o e x , ficamos com:

e x | b 0 = 3 . e x | a 0

Aplicando os limites:

e b - e 0 = 3 . ( e a - e 0 )

e b - 1 = 3 . ( e a - 1 )

Aplicando a distributiva:

e b - 1 = 3 e a - 3

e b = 3 e a - 2

Queremos isolar o b para escrevê-lo em termos de a , certo? Pra isso precisamos que ele saia desse exponencial. Como que a gente faz isso?

Aplicando o ln ⁡ em ambos os lados! Até porque o ln ⁡ é a inversa do exponencial

ln ⁡ e b = ln ⁡ ( 3 e a - 2 )

Como são inversos o ln ⁡ e o exponencial se cancelam. Assim ficamos só com b   do lado esquerdo da equação.

Então:

b = ln ⁡ ( 3 e a - 2 )

E prontinho. Tá aí b escrito em função de a .

Resposta

b = ln ⁡ ( 3 e a - 2 )

Exercício Resolvido #7

O custo unitário (C), em dólares, para produção de um artigo científico em um periódico de circulação na Europa é modelado por

C t = ∫ 0 24 0,004 t 2 + 0,02 t + 13   d t

Sendo t o tempo da circulação da revista. Calcule a integral dada para a verificação do custo unitário de cada artigo durante o período de 24 meses.

Passo 1

Bem, pessoal, esse exercício quer que a gente calcule uma integral cheia de t dentro. Será que integrar t é diferente de integrar x ?

A resposta é não! O passo a passo para integrar t é igual ao passo a passo para integrar x .

Além disso, essa integral tem uns números pequenos em cima e embaixo. O que eles são?

∫ 0 = ? 24 = ? 0,004 t 2 + 0,02 t + 13   d t

Esses pequenos números da integral são chamados de limites de integração.

Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!

Mas fica tranquilo, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.

Por isso, no próximo passo a gente vai começar integrando normalmente.

Passo 2

Vamos iniciar as contas, lembrando que podemos separar uma integral grande cheia de somas em várias integrais menores.

∫ 0 24 0,004 t 2 + 0,02 t + 13   d t = ∫ 0 24 0,004 t 2   d t + ∫ 0 24 0,02 t   d t + ∫ 0 24 13   d t

Além disso, temos que lembrar que as constantes não interferem na integral. Logo, podemos tirar elas de dentro da integral.

0,004 ∫ 0 24 t 2   d t   +   0,02 ∫ 0 24 t   d t   +   ∫ 0 24 13   d t

Beleza, para começar, vamos integrar a constante 13 que é mais fácil. Como essa constante está sozinha dentro da integral, a gente deve dar um t para fazer companhia para ela!

0,004 ∫ 0 24 t 2   d t + 0,02 ∫ 0 24 t   d t + ( 13 t ) | 0 24

Você pode notar que os números pequenos permanecem na integração. Isso serve para lembrar que mais pra frente vamos precisar usar esses limites de integração.

Mas agora ainda não é a hora! Primeiro, ainda vamos integrar as outras duas potências de t no próximo passo.

Passo 3

Para integrar o t elevado a algum número, usamos a regra abaixo.

∫ t n d x = t n + 1 n + 1

O n dessa regra é o expoente do t na integral. Quando só temos um t dentro da integral sem nenhum expoente a mostra, o expoente vale 1 ! Então, nesse caso, n vale 1 .

Aplicando essa regra a nossa integral de t 2 e a integral de t , encontramos:

0,004 t 2 + 1 2 + 1 0 24 + 0,02 t 1 + 1 1 + 1 0 24 + 13 t 0 24

0,004 t 3 3 0 24 + 0,02 t 2 2 0 24 + 13 ⋅ t 0 24

Finalmente vamos usar os limites de integração!

Fazemos isso, substituindo o t pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os t ' s por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o t pelo limite de cima (pelo 24 ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo 0 ). A regra de troca do t é mostrada abaixo.

F l i m i t e   d e   c i m a - F l i m i t e   d e b a i x o

Usando isso, a expressão vira:

0,004 24 3 3 - 0 3 3 + 0,02 24 2 2 - 0 2 2 + 13 ⋅ 24 - 13 ⋅ 0

Excluindo os termos com zero, fica:

0,004 ⋅ 24 3 3 + 0,02 ⋅ 24 2 2 + 13 ⋅ 24

Substituindo as potências de 24 e multiplicando 24 ⋅ 13 , achamos:

0,004 ⋅ 13824 3 + 0,02 ⋅ 576 2 + 312

Agora, podemos calcular o valor das frações, dividindo 13824 por 3 e 576 por 2 .

0,004 ⋅ 4608 + 0,02 ⋅ 288 + 312 = 336,192

O resultado deu 336,192 . Logo, o custo em dólares $ de cada artigo durante o período de 24 meses vale:

C 24 = $ 336,19

Foi! Chegamos ao final de mais um exercício!

Resposta

O custo unitário é $ 336,19 .

Exercício Resolvido #8

Verifique, por derivação, que o resultado da integral está correto

∫ x cos ⁡ x d x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

Passo 1

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!

Seja

f x = x sin ⁡ x + c o s ⁡ ( x ) + C ,

Lembra que se integramos uma função encontramos sua primitiva? A primitiva já nos foi dada, que no caso é   x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C . O que a questão quer de nós é que verifiquemos se essa primitiva, realmente é a primitiva da função dentro da integral. Tranquilo?

Pra fazer, faremos o caminho inverso, derivando o resultado.

f x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C

f ' x = x sen ⁡ x + cos ⁡ x + C '

Lembra que podemos separar a derivada da soma na soma das derivadas?

f ' x = x sen ⁡ x ' + cos ⁡ x ' + C '

Agora podemos resolver uma por uma dessas derivadas

Na primeira, teremos uma regra do produto, e na segunda, será uma derivada direta:

f ' x = sin ⁡ x + x cos ⁡ x + - sin ⁡ x + ( 0 )

Para a primeira derivada fizemos a regra do produto (derivada do primeiro vezes a segunda, mais a derivada da segunda vezes a primeira, sendo que a primeira função é o x e a segunda o sen ⁡ x ) , depois veio simplesmente a derivada do cos ⁡ x   que já é tabelado, e por ultimo a derivada da constante, que vale zero

Logo

f ' x = sen ⁡ ( x ) + x cos ⁡ x - sen ⁡ ( x )

Cortando os sen ⁡ x ;

f ' x = x   c o s ⁡ ( x )

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado.

Resposta

f ' x = x   c o s ⁡ ( x )

Exercício Resolvido #9

Se

F x = ∫ 1 x f t d t

Onde

f t = ∫ 1 t 2 1 + u 4 u   d u

Determine F ' ' ( 2 )

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Bom, quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz o seguinte:

Se

F ( x ) = ∫ a x f t d t

Então

F ' ( x ) = f ( x )

Na nossa então é a mesma coisa, aí na função debaixo, a gente pode trocar o t por x ...

Passo 2

E aí teremos:

F ' x = f x = ∫ 1 x 2 1 + u 4 u   d u

Beleza! Repara que o problema pede F ' ' ( x ) , então a gente vai derivar de novo, usando o TFC.

Mas primeiro...

Vamos fazer uma pequena mudança ali no limite de integração, porque não temos um “ x ” como no enunciado do TFC, e sim um “ x 2 ”.

Passo 3

Pra resolver esse probleminha, vamos fazer a seguinte substituição:

w = x 2

E então:

d w d x = 2 x

E aí a gente substitui o x 2 na integral por w :

F ' = ∫ 1 w 1 + u 4 u   d u

Vamos seguir...

Passo 4

Agora a gente vai aplicar o TFC de novo. Mas olha só, o limite da nossa integral tá em w e a gente quer a derivada F ' ' em x , então temos que usar a regra da Cadeia, e fazer o seguinte:

F ' ' x = ∫ 1 w 1 + u 4 u   d u ' ⋅ d w d x  

Essa derivada sai pelo TFC e a parte d w d x a gente já calculou ali em cima.

Então vai ficar:

F ' ' x =   1 + w 4 w ⋅ d w d x

Vamos jogar tudo pra x agora, lembrando que w = x 2 e d w d x = 2 x .

Passo 5

Substituindo, a gente vai ficar com:

F ' ' x = 1 + x 2 4 x 2   ⋅ ( 2 x )

Quando temos um expoente dentro e um fora do parêntese assim, a gente multiplica os dois, então vai ficar:

F ' ' x = 1 + x 8 x 2 ⋅ 2 x

Ainda pode simplificar esses expoentes do x 2 e do 2 x , assim:

F ' ' x = 2 1 + x 8 x

Passo 6

Beleza! Chegamos na expressão de F ' ' ( x ) , mas o enunciado pede F ' ' ( 2 ) , então vamos substituir x = 2 ali:

F ' ' 2 = 2 1 + 2 8 2

Cortamos os “ 2 ”:

F ' ' 2 = 1 + 2 8

Resolvemos a potência: 2 8 = 256 :

F ' ' 2 = 1 + 256

F ' ' 2 = 257

E agora acabamos! 😉

Resposta

F ' ' 2 = 257

Exercício Resolvido #10

Ache o intervalo em que a curva

y = ∫ 0 x 1 1 + t + t 2   d t  

É côncava para cima.

Passo 1

E aí, tudo joia?

Olha só, temos que uma curva é côncava para cima quando y ' ' > 0 . Então, precisamos calcular y ' e depois calcular y ' ' , mas como calcular y ' ?

Vamos usar o teorema fundamental do Cálculo, tá lembrado? Não? Então vamos dar uma relembrada a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:

Se

y = ∫ 0 x f t d t

Então

y ' = f ( x )

Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!

Passo 2

Temos então que

y ' = 1 1 + x + x 2

Joia! Já achamos a primeira derivada!

Vamos ver a segunda derivada. Pra isso a gente deriva essa y ' .

Como ela é um quociente, a gente tem que usar a regra do Quociente. Vamos relembrar como é?

f g ' =   f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Beleza, vamos definir o que é f e o que é g ...

Passo 3

A gente tem que:

f = 1

g = 1 + x + x 2

Derivando cada uma.

f ' = 0   (   d e r i v a d a   d e   c o n s t a n t e )

g ' = 0 + 1 + 2 x

g ' = 1 + 2 x

Beleza! Agora a gente monta a regra do quociente...

Passo 4

Voltando pra regrinha...

f g ' =   f ' ⋅ g - f ⋅ g ' g 2

Substituindo...

y ' ' =   0 ⋅ 1 + x + x 2 - 1 ( 1 + 2 x ) 1 + x + x 2 2

y ' ' =   - 1 1 + 2 x 1 + x + x 2 2

y ' ' = - 1 - 2 x 1 + x + x 2 2

Beleza! Achamos a segunda derivada!

Passo 5

Agora pra saber onde a concavidade é para cima, precisamos saber onde y ' ' > 0 .

Vamos analisar o sinal dessa derivada então...

Observe que o denominador sempre será um valor positivo pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo, certo?

Então a gente só precisa analisar a função do numerador. Vamos ver onde:

- 1 - 2 x > 0

Passo 6

A gente vai resolver essa inequação agora...

- 1 - 2 x > 0

Passando o - 1 para o lado direito:

- 2 x > 1  

Como o valor de x está negativo, multiplicamos toda a inequação por - 1 , isso fará todos os sinais se inverterem, incluindo o sinal de > que passará a ser <

- 2 x > 1           × ( - 1 )

2 x < - 1

Agora, deixando o x sozinho:

x < - 1 2

Nesse intervalo vamos ter y ' ' > 0 , logo...

A função é côncava para cima no intervalo onde x < - 1 2 , que também podemos escrever como:

- ∞ , - 1 2

Resposta

A função é côncava para cima no intervalo

- ∞ , - 1 2