Introdução e Propriedades das Integrais
Teoria
A Integral como Antiderivada:
Fala aí, tudo certinho? Vamos dar início aos nossos estudos de integrais. E pra começar a entender o conceito de integral, vamos tentar responde a seguinte pergunta:
Qual a função que quando a gente deriva resulta em ?
Pra responder essa pergunta podemos buscar as regras de derivação e tentar fazer o caminho inverso. Assim poderemos ver que a função que estávamos procurando era a . Isso porque:
E aqui entra um dos conceitos principais da Integral:
“A integração é a operação inversa da Derivação”
E nós iremos representar a integral da seguinte forma:
Essa cobrinha significa a integral, e o que colocamos depois da função vai dizer pra gente em qual variável estamos integrando, no caso em , mas poderia ser em , em , ou qualquer outra variável.
Só que aqui temos um detalhe bem importante. Você saberia dizer quais as derivadas das seguintes funções?
Bom, você concorda que todas elas possuem a mesma derivada, o ? Isso porque os valores que estão somando ou subtraindo o são apenas constantes, e quando derivarmos essas constantes elas irão desaparecer, pois a derivada de constante é igual a zero.
Com isso, para que possamos levar em consideração esses possíveis valores constantes que poderiam estar ali ao fazer uma integração indefinida, nós sempre acrescentaremos o ao final do resultado. então:
Esse vai representar todos esses valores constante que poderiam estar somando ou subtraindo o .
E assim fomos capazes de calcular nossa primeira integral indefinida, que também pode ser chamada de primitiva da função !
Mas nós sabemos que daria um trabalhão danado sempre ter que ficar pensando qual a função que quando a gente deriva resulta no valor que estamos integrando. Relaxa que não teremos que fazer isso toda vez. Uma vez ou outra, talvez a gente precise sim, mas no geral existem regras específicas de integração para cada tipo de função, e nós iremos ver as principais agora.
- Integral de Função Constante:
- Integral de Função Polinomial:
- Calculamos a integral normalmente;
- Colocamos a barra ao final com os limites de integração;
- Repetimos a função substituindo os valores de pelo limite superior;
- Subtraímos a função com os limites inferiores no lugar de ;
- Resolvemos a expressão que aparecer;
- Então teremos nosso resultado.
Você se lembra o que acontecia quando a gente derivava uma função desse tipo aqui:
Bom a derivada dela é:
O desaparece sobrando só o como derivada. Como na integral estamos fazendo o processo inverso da derivação, ao integrar uma função constante, vamos devolver o que ela perdeu na derivada. Assim:
Veja outros exemplos:
E assim por diante...
É só dar um de presente para a constante, e não esquecer de colocar nossa constante de integração no final.
Assim como na derivação, para integrar uma potência temos uma regra específica que diz que a integral será a potência acrescida de uma unidade no expoente e dividida pelo novo expoente. Assim:
Sem dúvidas, essa é uma das principais regras de integração então bastante atenção aqui. E não vale esquecer a constante , hem.
Vamos ver um exemplo:
Veja que quem está no lugar do é o expoente 3. Então, aplicando a regra da integração de potência, teremos:
E se a potência estiver no denominador, também pode? Assim:
Bom nessa caso, você primeiro sobe a potência para o numerador colocando o expoente com o sinal trocado, e aí sim você faz a integração. Assim:
Então podemos fazer a integração com essa regra a quase todas as potências, a única exceção será a função . Veremos ela, mais a frente nos próximos tópicos.
Propriedades das Integrais
Propriedade 1
Já vimos como calcular a integral de algumas funções, mas e se precisarmos integrar uma soma ou uma subtração delas, dessa forma:
Será que existe uma regra específica? Existe sim, e mais que uma regra, é uma propriedade da integral que diz que quando precisarmos integrar uma soma ou uma subtração de funções, nós podemos abrir a integral em várias integrais menores e integrar cada termo separadamente.
Assim, pra resolver faremos:
E resolveremos cada uma das integrais:
Não esqueça da constante de integração , e de arrumar os sinais.
Assim:
Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:
Onde abrimos a soma ou a subtração.
Propriedade 2
Às vezes nossas funções podem ter uma multiplicação por constante, com em , o está multiplicando a função . Essa constante não vai influenciar no cálculo da integral, então nós poderemos tirar ela de dentro da integral colocando-a na frente multiplicando. Veja o exemplo:
E agora a gente resolve a integral normalmente, e leva a constante multiplicando o resultado:
Podemos resumir essas propriedade da seguinte forma:
Essas duas são as propriedades mais importantes e as que mais nós iremos utilizar, então pra você ficar fera em integrais, é sempre bom fazer bastante exercícios.
Integrais Definidas
Bom, vimos várias integrais até agora, mas todas elas eram integrais indefinidas. Mas o que significa isso?
Isso quer dizer que não temos limites de integração, então o resultado da integral será uma função encontrada na resolução.
Como quando fazemos:
Agora falaremos da integral definida, nesse caso, haverá limites de integração e isso fará com que a solução encontrada seja um valor. Esse valor terá interpretações geométricas que veremos mais à frente em nossos estudos de integral. Por agora, o importante é aprender a calcular uma integral definida. E para isso usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Ela será representada dessa forma:
Onde esses e são os limites de integração e formam o intervalo de integração. Nós lemos de baixo pra cima (integral de indo de até ).
O TFC nos diz que o resultado de uma integral definida em um intervalo é igual ao resultado da integral calculado no limite superior, menos o resultado da integral calculado no limite inferior.
Então, primeiro a gente calcula a integral normalmente, como se fosse uma integral indefinida, e depois a gente aplica os limites de integração. Vamos ver um exemplo pra ficar um pouco mais claro:
Exemplo:
Calculamos a integral normalmente, usando a regra do expoente. Detalhe importante: quando a integral é definida, NÃO precisamos acrescentar a constante de integração . Então:
Depois da integral resolvida, nós colocamos uma barra no final com os limites de integração:
Agora nós repetimos a função trocando o pelo limite superior , colocamos o sinal de menos e repetimos a função novamente, mas agora trocando o pelo limite inferior . Assim:
Bom, isso virou uma expressão numérica, e só precisaremos resolvê-la agora, ficando com:
Prontinho. O resultado da integral é .
E assim nós seguiremos sempre esse passo a passo para resolver uma integral definida:
Serão muitos os exercícios que teremos que fazer integrais definidas, então siga esse passo a passo que não terá erro!
E depois de tudo isso, nada melhor que fazer bastante exercícios pra fixar bem essa matéria tão importante.
Propriedades das Integrais
Integrais Definidas
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Origem do Exercício
Resolva a integral:
Passo 1
Fala aí, beleza. Nossa primeira integral!! Vamos lá!
A primeira coisa que precisamos entender é que a integral é a operação inversa da derivada. Então, no fundo, essa integral só está fazendo uma pergunta pra gente:
“Qual é a função, que quando derivada, dá “”?
Antes de começar a integrar, vamos ver se essa função aí dentro pode ser simplificada. Vamos dar uma reorganizada nos termos.
Olha só. Podemos juntar os termos semelhantes substraindo o e o , assim nossa integral vai ficar um pouco menor.
Agora podemos começar a integrar.
Passo 2
Pra resolver essa integral, a primeira coisa que precisamos entender é que podemos separar aquelas somas e subtrações em integrais menores. Assim, uma integral grande se transforma em várias integrais pequenininhas.
Ficaria assim:
Por enquanto vamos olhar aquele ‘’ ali só como uma notação. É como se ele estivesse “fechando” cada integral.
Além disso, também é importante sabermos que as constantes (no caso o 5 e o 12), não vai interferir na integral. Então podemos colocar essas contantes fora da integral.
Passo 3
Ok. Vamos começar a nossa integral olhando ali pro último termo.
Aquela integral parece vazia, né? Pois é. Mas, na verdade, tem um número , escondido ali dentro. Então podemos escrever assim:
Vamos pensar na pergunta que a integral faz pra gente. Qual função, que quando derivada, dá ? Nesse caso, seria a função , certo? Quando derivamos , encontramos .
Com isso a gente já resolve essa última integral, ficando com:
Passo 4
Agora, nas integrais restantes, temos potências de . E, pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de .
A regrinha é: soma no expoente e divide pelo resultado que encontrármos no novo expoente. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:
Aplicando isso em nossas integrais, teremos:
Resolvendo:
Passo 5
Mas peeeraí que a gente ainda não acabou. Falta só uma coisinha e prometo que é bem simples.
Lembra que a derivada de qualquer contante é igual a ? Pois é. Por isso, sempre que terminarmos de calcular uma integral, temos que colocar uma constante genérica no final, pois pode ser que ela existisse antes e sumiu ao ser derivada.
Chamamos esse cara de Constante de Integração. Fica assim, olha:
Os símbolos mais comuns pra Constante de Integração são ou , mas independente do que escolher, não pode esquecer, combinado??
Prontinho! Fechamos!
Resposta
A integral indefinida é , onde é a Constante de Integração.
Exercício Resolvido #2
Calcule a integral
Passo 1
Aqui, temos uma integral polinomial, bora resolver isso aí:
Lembra que a integral da soma é o mesmo que a soma das integrais, certo? Então podemos reescrever isso assim:
Passo 2
Até aí tranquilo, vamos agora lembrar de como resolvermos essa integral? Temos o caso
Então podemos já resolver cada uma das integrais.
Nesse caso temos
Então
Passo 3
Agora:
Como temos uma constante na frente, podemos tirá-la de dentro da integral. E teremos:
Observa então que pra esse caso
Simplificando o 2 de cima como 2 de baixo:
Passo 4
Por último, mas não menos importante
Vamos tirar a constante de dentro
Temos então
Passo 5
Agora é só somar isso aí
Resposta
Exercício Resolvido #3
Seja um número positivo. Considere a integral definida dada a seguir
Pode-se afirmar que o valor da integral está correto se for igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Como vocês estão, pessoal? Prontos para um exercício de integral cheio de novidades?
Esse exercício quer que a gente calcule quanto vale aquele pequenininho na integral.
Mas o que é exatamente esse e esse que estão na integral?
Eles são chamados de limites de integração.
Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!
Mas relaxa, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.
Por isso, no próximo passo nós vamos começar integrando normalmente.
Passo 2
Só temos o dentro da integral. Para integrar o , precisamos lembrar que ele é igual a . Ou seja, precisamos lembrar que o expoente de vale .
Para integrar o elevado a algum número, usamos a regra de integração para potências abaixo.
O dessa regra é o expoente do na integral. No nosso caso vale , porque o expoente do é . Aplicando essa regra na nossa integral, encontramos:
Os números pequenos permanecem para mostrar os limites de integração.
No próximo passo nós vamos aprender o que fazer com eles!
Passo 3
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites! Em outras palavras nós vamos trocar o por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). A regra de troca do é mostrada abaixo.
Vai ficar assim:
E esse é o resultado da nossa integração. Mas o enunciado nos disse que esse resultado era igual a . Como queremos descobrir o valor de , vamos transformar essas informações em uma equação:
Jogando o para o outro lado da equação e fazendo ele somar com , achamos:
Passando o número do lado esquer para o lado direito:
Aplicando a raiz quadrada nos dois lados da equação, ela vira:
Como é o limite superior, ele dever ser maior que o que está na parte de baixo da integral, que é o 1. Logo vale , a resposta certa é a letra (c).
Parabéns, pessoal! Mais um exercício pra conta.
Resposta
Letra (c).
Exercício Resolvido #4
Se , é contínua e , qual é o valor de ?
Passo 1
Bora ver mais essa? Sei que ela está bem embolada, mas vamos no passo a passo que você vai ver que não é tão difícil quanto parece.
Você se lembra da parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo? Não? Então vamos lembrar, ele diz o seguinte:
Quando
Ou assim ó:
Passo 2
Trazendo isso pro nosso caso:
Pelo enunciado a gente tem que:
Vamos substituir isso então!
Passo 3
Substituindo...
Agora vamos isolar o :
Prontinho! Encontramos o que nos pediram😊
Resposta
Exercício Resolvido #5
Verifique, por derivação, que a formula está correta
Passo 1
Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!
Lembra que se integramos uma função encontramos sua primitiva? A primitiva já nos foi dada, que no caso é. O que a questão quer de nós é que verifiquemos se essa primitiva, realmente é a primitiva da função dentro da integral. Tranquilo?
Podemos reescrever como:
O próximo passo é derivar isso aí.
Se lembra da regra da cadeia? Por que é ela que vamos usar agora. Derivada da função que está fora (a raiz) e multiplicando pela derivada da função de dentro!
Lembrando que o 0 vem da derivada da constante
Como o expoente está negativo, vamos jogar o parênteses para o denominador pra deixa-lo positivo.
E como é elevado a podemos escrever em forma de raiz:
Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado.
Resposta
Exercício Resolvido #6
A área marcada B é três vezes a área marcada A. Expresse b em termos de a.
Passo 1
Bom, aqui nós queremos achar em termos de . Mas antes vamos lembrar que o problema nos disse:
(a área de é 3x a área de ).
Se lembram como calcular a área abaixo de um gráfico?
Usando a integral, não é? Então podemos escrever:
Integrando o , ficamos com:
Aplicando os limites:
Aplicando a distributiva:
Queremos isolar o para escrevê-lo em termos de , certo? Pra isso precisamos que ele saia desse exponencial. Como que a gente faz isso?
Aplicando o em ambos os lados! Até porque o é a inversa do exponencial
Como são inversos o e o exponencial se cancelam. Assim ficamos só com do lado esquerdo da equação.
Então:
E prontinho. Tá aí escrito em função de .
Resposta
Exercício Resolvido #7
O custo unitário (C), em dólares, para produção de um artigo científico em um periódico de circulação na Europa é modelado por
Sendo o tempo da circulação da revista. Calcule a integral dada para a verificação do custo unitário de cada artigo durante o período de meses.
Passo 1
Bem, pessoal, esse exercício quer que a gente calcule uma integral cheia de dentro. Será que integrar é diferente de integrar ?
A resposta é não! O passo a passo para integrar é igual ao passo a passo para integrar .
Além disso, essa integral tem uns números pequenos em cima e embaixo. O que eles são?
Esses pequenos números da integral são chamados de limites de integração.
Quando eles aparecem na integral, ela é chamada de integral definida!
Mas fica tranquilo, porque não vamos nos preocupar com eles nessa etapa da solução.
Por isso, no próximo passo a gente vai começar integrando normalmente.
Passo 2
Vamos iniciar as contas, lembrando que podemos separar uma integral grande cheia de somas em várias integrais menores.
Além disso, temos que lembrar que as constantes não interferem na integral. Logo, podemos tirar elas de dentro da integral.
Beleza, para começar, vamos integrar a constante que é mais fácil. Como essa constante está sozinha dentro da integral, a gente deve dar um para fazer companhia para ela!
Você pode notar que os números pequenos permanecem na integração. Isso serve para lembrar que mais pra frente vamos precisar usar esses limites de integração.
Mas agora ainda não é a hora! Primeiro, ainda vamos integrar as outras duas potências de no próximo passo.
Passo 3
Para integrar o elevado a algum número, usamos a regra abaixo.
O dessa regra é o expoente do na integral. Quando só temos um dentro da integral sem nenhum expoente a mostra, o expoente vale ! Então, nesse caso, vale .
Aplicando essa regra a nossa integral de e a integral de , encontramos:
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites! Em outras palavras, nós vamos trocar os por um limite de cada vez. Primeiro nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). A regra de troca do é mostrada abaixo.
Usando isso, a expressão vira:
Excluindo os termos com zero, fica:
Substituindo as potências de e multiplicando , achamos:
Agora, podemos calcular o valor das frações, dividindo por e por .
O resultado deu . Logo, o custo em dólares de cada artigo durante o período de meses vale:
Foi! Chegamos ao final de mais um exercício!
Resposta
O custo unitário é .
Exercício Resolvido #8
Verifique, por derivação, que o resultado da integral está correto
Passo 1
Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, vamos lá?!
Seja
,
Lembra que se integramos uma função encontramos sua primitiva? A primitiva já nos foi dada, que no caso é. O que a questão quer de nós é que verifiquemos se essa primitiva, realmente é a primitiva da função dentro da integral. Tranquilo?
Pra fazer, faremos o caminho inverso, derivando o resultado.
Lembra que podemos separar a derivada da soma na soma das derivadas?
Agora podemos resolver uma por uma dessas derivadas
Na primeira, teremos uma regra do produto, e na segunda, será uma derivada direta:
Para a primeira derivada fizemos a regra do produto (derivada do primeiro vezes a segunda, mais a derivada da segunda vezes a primeira, sendo que a primeira função é o e a segunda o , depois veio simplesmente a derivada do que já é tabelado, e por ultimo a derivada da constante, que vale zero
Logo
Cortando os
Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado.
Resposta
Exercício Resolvido #9
Se
Onde
Determine
Passo 1
Olá! Tudo bem?
Bom, quando batemos o olho fica um pouco assustador né?! Mas vamos lembrar da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), que diz o seguinte:
Se
Então
Na nossa então é a mesma coisa, aí na função debaixo, a gente pode trocar o por ...
Passo 2
E aí teremos:
Beleza! Repara que o problema pede , então a gente vai derivar de novo, usando o TFC.
Mas primeiro...
Vamos fazer uma pequena mudança ali no limite de integração, porque não temos um “” como no enunciado do TFC, e sim um “”.
Passo 3
Pra resolver esse probleminha, vamos fazer a seguinte substituição:
E então:
E aí a gente substitui o na integral por :
Vamos seguir...
Passo 4
Agora a gente vai aplicar o TFC de novo. Mas olha só, o limite da nossa integral tá em e a gente quer a derivada em , então temos que usar a regra da Cadeia, e fazer o seguinte:
Essa derivada sai pelo TFC e a parte a gente já calculou ali em cima.
Então vai ficar:
Vamos jogar tudo pra agora, lembrando que e .
Passo 5
Substituindo, a gente vai ficar com:
Quando temos um expoente dentro e um fora do parêntese assim, a gente multiplica os dois, então vai ficar:
Ainda pode simplificar esses expoentes do e do , assim:
Passo 6
Beleza! Chegamos na expressão de , mas o enunciado pede , então vamos substituir ali:
Cortamos os “”:
Resolvemos a potência: :
E agora acabamos! 😉
Resposta
Exercício Resolvido #10
Ache o intervalo em que a curva
É côncava para cima.
Passo 1
E aí, tudo joia?
Olha só, temos que uma curva é côncava para cima quando . Então, precisamos calcular e depois calcular , mas como calcular ?
Vamos usar o teorema fundamental do Cálculo, tá lembrado? Não? Então vamos dar uma relembrada a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz o seguinte:
Se
Então
Agora ficou mais simples de visualizar, não ficou?!
Passo 2
Temos então que
Joia! Já achamos a primeira derivada!
Vamos ver a segunda derivada. Pra isso a gente deriva essa .
Como ela é um quociente, a gente tem que usar a regra do Quociente. Vamos relembrar como é?
Beleza, vamos definir o que é e o que é ...
Passo 3
A gente tem que:
Derivando cada uma.
Beleza! Agora a gente monta a regra do quociente...
Passo 4
Voltando pra regrinha...
Substituindo...
Beleza! Achamos a segunda derivada!
Passo 5
Agora pra saber onde a concavidade é para cima, precisamos saber onde .
Vamos analisar o sinal dessa derivada então...
Observe que o denominador sempre será um valor positivo pois qualquer número elevado ao quadrado resulta em um número positivo, certo?
Então a gente só precisa analisar a função do numerador. Vamos ver onde:
Passo 6
A gente vai resolver essa inequação agora...
Passando o para o lado direito:
Como o valor de está negativo, multiplicamos toda a inequação por , isso fará todos os sinais se inverterem, incluindo o sinal de que passará a ser
Agora, deixando o sozinho:
Nesse intervalo vamos ter , logo...
A função é côncava para cima no intervalo onde , que também podemos escrever como:
Resposta
A função é côncava para cima no intervalo