Teoria

A Integral como Área

Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.

A primeira coisa que devemos entender é que uma Integral representa o valor de uma área, beleza?!

Se pararmos para analisar, tem algumas áreas que conseguimos calcular de boa, como essas aqui embaixo:

Agora, imagina que queremos calcular a área azul abaixo:

Talvez você não faça ideia de como calcular a área disso... rs.

No caso da figura acima, queremos calcular a área ( A ) embaixo da função f x = x 2 entre x = 0,6 e x = 1,4 .

Para calcular áreas nesse tipo de situação podemos utilizar a Soma de Riemann, porém isso será abordado mais pra frente! O importante agora é fixar a ideia que integrar é mais uma forma de calcular áreas.

Notação

Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:

∫ a b f ( x ) d x

f ( x ) é chamado de integrando que é a função que queremos a área;

a é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área;

b é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; d x mostra que estamos integrando na variável x (se fosse d t , por exemplo, estaríamos integrando em t ).

Show de bola?!

É importante a gente saber também que existem dois tipos de integrais: as integrais definidas e as indefinidas.

A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.

∫ a b f ( x ) d x

A Integral Indefinida resulta em uma função. Nela, não há os limites de integração, o que resulta em uma outro função que chamamos de Primitiva da função f ( x ) .

∫ f ( x ) d x

Sinal da Integral

Essa é uma parte tranquila da matéria, mas pode se tornar problemática se não estiver bem clara. As integrais podem ter valores positivos e negativos! Sim, é verdade rs!

Como já conversamos anteriormente, a integral representa uma área delimitada por uma função, porém essa função pode estar na parte negativa do plano cartesiano, observe:

Quando a função está abaixo do eixo x , o valor da integral é negativo! Quando a função está acima do eixo x , o valor da integral é positivo!

∫ a c f ( x ) d x > 0 e             ∫ c b f ( x ) d x < 0

Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais, pois as áreas são sempre positivas (não existe área negativa).

Por exemplo:

∫ a c f ( x ) d x > 0 → A r o s a = ∫ a c f ( x ) d x

∫ c b f ( x ) d x < 0 → A a z u l = - ∫ c b f ( x ) d x

Note que como ∫ c b f ( x ) d x < 0 (um número negativo) então na hora de calcularmos a área azul precisamos incluir o sinal negativo, para que o valor da área seja positivo.

Se quisermos calcular a área total, ou seja, A r o s a   e   A a z u l temos que calcular ∫ a b f ( x ) d x :

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Assim,

∫ a b f ( x ) d x = A r o s a   -   A a z u l

Beleza?!

Vamos praticar então?!

Notação

Sinal da Integral

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