Introdução e Definição de Integral
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
A Integral como Área
Esse é um capítulo bem importante para entendermos o conceito de Integrais.
A primeira coisa que devemos entender é que uma Integral representa o valor de uma área, beleza?!
Se pararmos para analisar, tem algumas áreas que conseguimos calcular de boa, como essas aqui embaixo:
Agora, imagina que queremos calcular a área azul abaixo:
Talvez você não faça ideia de como calcular a área disso... rs.
No caso da figura acima, queremos calcular a área embaixo da função entre e .
Para calcular áreas nesse tipo de situação podemos utilizar a Soma de Riemann, porém isso será abordado mais pra frente! O importante agora é fixar a ideia que integrar é mais uma forma de calcular áreas.
Notação
Vamos entender essa notação de integral de forma mais geral:
é chamado de integrando que é a função que queremos a área;
é o limite inferior, que é onde começa o intervalo que queremos a área;
é o limite superior, que é onde termina o intervalo que queremos a área; mostra que estamos integrando na variável (se fosse , por exemplo, estaríamos integrando em ).
Show de bola?!
É importante a gente saber também que existem dois tipos de integrais: as integrais definidas e as indefinidas.
A Integral Definida resulta em um número, um valor. Essa integral acontece quando os limites de integração são números também, ou seja, na maioria dos casos.
A Integral Indefinida resulta em uma função. Nela, não há os limites de integração, o que resulta em uma outro função que chamamos de Primitiva da função .
Sinal da Integral
Essa é uma parte tranquila da matéria, mas pode se tornar problemática se não estiver bem clara. As integrais podem ter valores positivos e negativos! Sim, é verdade rs!
Como já conversamos anteriormente, a integral representa uma área delimitada por uma função, porém essa função pode estar na parte negativa do plano cartesiano, observe:
Quando a função está abaixo do eixo , o valor da integral é negativo! Quando a função está acima do eixo , o valor da integral é positivo!
e
Portanto, temos que ter cuidado se quisermos calcular áreas e não integrais, pois as áreas são sempre positivas (não existe área negativa).
Por exemplo:
Note que como (um número negativo) então na hora de calcularmos a área azul precisamos incluir o sinal negativo, para que o valor da área seja positivo.
Se quisermos calcular a área total, ou seja, temos que calcular :
Assim,
Beleza?!
Vamos praticar então?!