Teoria

Fala ai, bem vindo ao RespondeAi! Vamos falar de integrais triplas, para iniciar nossos entendimentos de problemas de integrais triplas, primeira vamos definir três tipos de regiões que podem existir para aplicar nossa integral:

Região do Tipo I

Para esse tipo de região a variável varia entre duas funções e são limitadas no plano por um sólido de área :

Para calcular o volume desse sólido que tem essa projeção no plano , poderíamos descrever a região da seguinte forma:

Região do Tipo II

Para esse tipo de região a variável varia entre duas funções e são limitadas no plano por um sólido de área :

Para calcular o volume desse sólido que tem essa projeção no plano , poderíamos descrever a região da seguinte forma:

Região do Tipo III

Por último para esse tipo de região a variável varia entre duas funções e são limitadas no plano por um sólido de área :

Para calcular o volume desse sólido que tem essa projeção no plano , poderíamos descrever a região da seguinte forma:

E como não temos nenhuma função com três variáveis, para resolver questões de integrais triplas, teremos que fazer um integral simples e um integral dupla, vamos ver um exemplo.

Supondo que tivéssemos um exercício do tipo III a seguinte integral tripla que teríamos que resolver serie:

Vamos ver um exemplo para entender tudo direitinho!

Vamos pensar no seguinte exemplo, sabendo que existe um sólido dentro do cilindro , delimitado por e . Calcule:

Passo 1

Para começar a resolver esse problema de integrais triplas primeiro precisaremos entender de que tipo de região estamos tratando, fazendo um esboço dessas funções poderíamos encontrar um gráfico com essa cara aqui:

Temos um cilindro limitado por baixo pelo plano e por cima por um paraboloide,

Além do gráfico no ajudar, podemos perceber pelo enunciado que estamos trabalhando com uma região do tipo I já que temos um sólido limitado por duas funções , e sabemos que .

Passo 2

Nossa região passa a ser descrita da seguinte forma:

Passo 3

Nossa integral fica

Passo 4

Para resolver essa integral iremos fazer como fazíamos muitas vezes para calcular integrais duplas e mudar nossas coordenadas cartesianas para coordenadas polares, e vamos fazer isso porque se olharmos nossa projeção do nosso sólido no plano vemos um círculo:

Por isso que coordenadas polares podem nos ajudar!

📢 OBS: Para qualquer tipo de região, depois que escolhermos os limites da primeira integral, vamos cair em uma integral dupla, e para resolvê-la vamos usar os métodos já conhecidos para a resolução de integrais duplas.

Para mudar para coordenadas polares temos que nos lembrar que:

E não podemos esquecer do nosso Jacobiano, mas por ser tratar de um círculo, podemos afirmar que:

Onde vamos iterar entre:

Passo 5

Voltando para nossa integral:

Resolvendo todas essas integrais iteradas:

Legal né? No nosso site você encontra uma série de exercícios resolvidos sobre Integrais Triplas, e aprende tudo que você precisa para mandar bem em Cálculo!

Exercício

Para não ficar perdido no assunto confere aqui em baixo um de nossos exercício do tópico de Integrais Triplas em Regiões Gerais, feito por um de nossos Experts especialmente para você, com nosso método de resolução Passo a Passo!

Calcule o volume do sólido limitado pelo cone e o paraboloide .

Região do Tipo III

Exercício

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