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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.7 - Ex. 5

Calcule a integral iterada.

∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z e y   d x   d z   d y

Passo 1

E aí, meu povo! Tudo certo?

Nesse exercício, precisamos calcular a integral:

∫ 0 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 2 z e y   d x   d z   d y

Nas integrais triplas cada uma das integrais é calculada em relação a uma variável e a ordem de integração segue a sequência “de dentro pra fora”. Cada integral interna é calculada primeiro, e em seguida a integral “do meio”, até a integral mais externa. Esse processo vai resultar num valor que vai ser o valor de toda a integral tripla.

Vem comigo!

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em relação a x , porque é nossa integral mais interna. Aqui tratamos as outras variáveis como constantes:

∫ 0 3 ∫ 0 1 z e y x 0 1 - z 2 d z   d y

Assim, aplicando nossos limites de integração:

∫ 0 3 ∫ 0 1 z e y 1 - z 2 - 0 d z   d y

Arrumando as coisas:

∫ 0 3 ∫ 0 1 e y z 1 - z 2 d z   d y

Passo 3

Agora vamos integrar em z . Como esse integral é mais chata, vamos com calma.

∫ 0 3 ∫ 0 1 e y z 1 - z 2 d z   d y

Vamos escrever o produto dentro da integral como um produto de integrais, cada qual com sua variável de integração:

∫ 0 1 z 1 - z 2 d z ∫ 0 3 e y   d y

Vamos começar pala primeira integral:

∫ 0 1 z 1 - z 2   d z

Agora vamos fazer a seguinte substituição:

u = 1 - z 2

Derivando,

d u = - 2 z d z

z   d z = - 1 2 d u

Mudando os limites de integração usando nossa equação:

u = 1 - z 2

Temos:

z = 0 → u = 1

z = 1 → u = 0

Substituindo, nossa nova integral é:

∫ 1 0 - 1 2 u 1 2

Integrando e aplicando os limites de integração:

- 1 2 × u 3 2 3 2 1 0 = 1 3

Então nossa integral fica:

∫ 0 3 1 3   e y d y

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em y :

1 3 ∫ 0 3 e y   d y

Integrando,

1 3 e y 0 3

Portanto,

e 3 3 - 1 3 = e 3 - 1 3

Resposta

e 3 - 1 3

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