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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 8

Calcule a integral iterada.

int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x

Passo 1

Ele nos pede para calcular a seguinte integral:

I = int_0^(sqrt(pi)) int_0^x int_0^(x z) x^2 s e n y d y d z d x

A ideia nesse caso é fazer de dentro pra fora.

Passo 2

Pra começar, vamos integrar em y . olha só:

I = int_0^(sqrt(pi)) int_0^x [x^2 (- cos (y))]_(y = 0)^(y = x z) d z d x

Assim,

I = int_0^(sqrt(pi)) int_0^x [ x^2 (- cos (x z) + 1) ] d z d x

Logo,

I = int_0^(sqrt(pi)) int_0^x [ - x^2 cos (x z) + x^2 ] d z d x

Passo 3

Agora vamos integrar em z .

I = int_0^(sqrt(pi)) int_0^x [ - x^2 cos (x z) + x^2 ] d z d x

Agora vamos fazer essa integral separado, olha só:

I_1 = int_0^x (- x^2 cos (x z) + x^2) d z

Integrando:

I_1 = [- x s e n (x z) + x^2 z]_0^x

Aplicando entres esses pontos:

I_1 = - x s e n (x^2) + x^3

Então nossa integral fica:

I = int_0^(sqrt(pi)) - x s e n (x^2) + x^3 d x

Passo 4

Pra finalizar, vamos integrar em x . Vem comigo!

I = int_0^(sqrt(pi)) (- x s e n (x^2) + x^3) d x

Integrando, temos:

I = [(cos (x^2))/(2) + (x^4)/(4)]_0^(sqrt(pi))

Agora é só correr pro abraço!

I = - (1)/(2) + (pi^2)/(4) - (1)/(2) - 0

Logo,

I = (pi^2)/(4) - 1

Resposta

(pi^2)/(4) - 1

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