Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Como já vimos para regiões planas, o momento de inércia (ou segundo momento) de uma partícula em relação a um eixo é definido como , onde é a massa da partícula e é a distância entre esse eixo e a partícula.
Trazendo esse conceito para três dimensões, podemos definir o momento de inércia de uma região sólida com densidade de massa . Para calcular o momento em relação ao eixo , a distância dos pontos a esse eixo será dada por . Portanto, temos:
Para o momento de inércia em relação a , a distância passa a ser
Para o momento em relação a , então:
Para ficar mais fácil de lembrar quais coordenadas que somamos ao quadrado em cada momento, repare que a coordenada do eixo é sempre a que não aparece. Exemplo: momento de inércia em relação ao eixo , somamos .
Então, basicamente: quando um problema pedir para você calcular o momento de inércia de uma região sólida em relação a um eixo (, ou ), você vai aplicar essas fórmulas e cair em alguma integral tripla. Daí você vai resolver usando todos os conceitos de integral tripla que você já viu até aqui (mudança esférica, cilíndrica etc).
É como uma integral qualquer! Memorize essas fórmulas, porque esse é o passo 1 desse tipo de questão, ok? Você vai aplicar a fórmula, montar a integral e resolvê-la. Vamos ver aqui um exemplo
Exemplo: Encontre o momento de inércia em relação ao eixo do cubo com comprimento do lado , um vértice localizado na origem, três arestas nos eixos coordenados e densidade constante .
Passo 1: Como sabemos, o momento de inércia de um sólido em relação ao eixo é dado por:
Onde é a função densidade. Porém, como o problema diz, a densidade é dada por uma constante , logo:
Passo 2: Ótimo, agora vamos escrever matematicamente essa região.
Bom, como se trata de um cubo, não temos muito trabalho para descrever essa região, todos os limites de integração são números:
Passo 3: Agora vamos resolver isso aí.
Raio de Rotação
Acabamos de aprender como calcular o momento de inércia de um sólido, né? Existe uma propriedade física de sólidos associada ao segundo momento e que vamos ter que calcular em alguns problemas também: o raio de rotação!
O raio de rotação, por sua vez, é a distância em relação a um eixo em que podemos concentrar toda a massa de corpo de forma a termos o mesmo momento linear nesse eixo. Por exemplo, é a distância ao eixo que um ponto com toda a massa concentrada do objeto resulta no mesmo .
Essa explicação é muito abstrata mesmo, se não entendeu tudo bem! Você praticamente só vai ter que aplicar uma fórmula nesse tipo de questão.
As fórmulas que vamos usar para calcular o Raio de rotação em relação aos eixos são essas aqui:
Em relação ao eixo :
Em relação ao eixo :
Em relação ao eixo :
Podemos também achar o raio de rotação em relação a origem, para isso é só fazer:
O conceito novo desse capítulo é basicamente as fórmulas, o resto você já sabe.
Vamos fazer uns exercícios então!