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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 44

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .

Encontre os momentos de inércia de um tijolo retangular com dimensões a ,   b e c e massa M se o centro do tijolo está localizado na origem e as arestas são paralelas aos eixos coordenados.

Passo 1

Vamos lá pessoal, vamos entender o que essa questão está querendo.

Temos, um tijolo comum com uma massa qualquer e centro na origem. Temos que encontrar o momento de inércia desse tijolo:

Os momentos de inércia são dados por

I x = ∭ E y 2 + z 2 ρ x , y , z   d V

I y = ∭ E x 2 + z 2 ρ x , y , z   d V

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Podemos ver que se o tijolinho está com seu centro na origem. A distância de cada eixo para seu centro será igual à metade da aresta. Ou seja:

As variações das variáveis em E são

- a 2 ≤ x ≤ a 2

- b 2 ≤ y ≤ b 2

- c 2 ≤ z ≤ c 2

Passo 2

Vamos aplicar a equação do momento de inércia com a densidade ρ = k .

I x = k ∭ E y 2 + z 2   d V = k ∫ - a 2 a 2 ∫ - b 2 b 2 ∫ - c 2 c 2 y 2 + z 2 d x d y d z

Resolvendo para d x

k ∫ - c 2 c 2 ∫ - b 2 b 2 ∫ - a 2 a 2 y 2 + z 2 d x d y d z =   k ∫ - c 2 c 2 ∫ - b 2 b 2 y 2 + z 2 x ​ - a 2 a 2   d y d z

Aplicando os limites de integração

k ∫ - c 2 c 2 ∫ - b 2 b 2 y 2 + z 2 2 a 2 d y d z

Simplificando:

a k ∫ - c 2 c 2 ∫ - b 2 b 2 y 2 + z 2 d y d z

Resolvendo para d y

= a k ∫ - c 2 c 2 y 3 3 + y z 2 - b / 2 b / 2 d z

Aplicando o intervalo:

a k ∫ - c 2 c 2 2 b 2 3 3 + b 2 z 2 d z

Simplificando:

= 2 a k ∫ - c 2 c 2 b 3 24 + b 2 z 2 d z

Podemos fazer agora a integral em d z

= 2 a k b 3 24 z + b z 3 6 - c / 2 c / 2 = 4 a k b 3 24 c 2 + b ( c / 2 ) 3 6

SImplificnado a equação:

= 4 a k b 3 c 48 + b c 3 48 = 4 k a b c b 2 + c 2 48

I x = k a b c 12 ( b 2 + c 2 )

Por simetria temos que

I y = k a b c 12 ( a 2 + c 2 )

I z = k a b c 12 ( a 2 + b 2 )

Resposta

I x = k a b c 12 ( b 2 + c 2 )

I y = k a b c 12 ( a 2 + c 2 )

I z = k a b c 12 ( a 2 + b 2 )

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