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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 43

Suponha que o sólido tenha densidade constante k .

Encontre os momentos de inércia para um cubo com comprimento do lado L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados.

Passo 1

Show de bola em amigos!!! Essa questão nos pede os momentos de inércia de um cubo com um vértice localizado na origem.

Se a densidade é constante, momentos de inércia são dados por

I x = ∭ E y 2 + z 2 ρ x , y , z   d V

I y = ∭ E x 2 + z 2 ρ x , y , z   d V

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

Iremos calcular um dos momentos de inércia e então saberemos os outros. Pois a figura é um cubo que é simétrico em relação aos eixos.

Passo 2

Como a densidade ρ = k vamos calcular os momentos

I x = k ∭ E y 2 + z 2   d V = k ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2 d x d y d z

Cada integral é definida de 0 a L , pois esse é o tamanho de cada aresta do cubo, e o vértice inicial do cubo é na origem.

k ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2 d x d y d z =   k ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2 x ​ 0 L   d y d z

Substituindo os limites de integração:

k ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2 L   d y d z

Integrando em relação a d y :

k L ∫ 0 L ∫ 0 L y 2 + z 2   d y d z = k L ∫ 0 L y 3 3 + y z 2 0 L   d z

Substituindo e simplificando:

k L ∫ 0 L L 3 3 + L z 2   d z

Integrando em relação a d z :

k L ∫ 0 L L 3 3 + L z 2   d z = k L L 3 3 z + L z 3 3   0 L  

= k L L 3 3 L + L L 3 3 = k L 2 L 4 3

I x = k 2 L 5 3

Por simetria temos que

I x = I y = I z = k 2 L 5 3

Resposta

I x = I y = I z = k 2 L 5 3

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