Mudança Qualquer de Variáveis
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Olá, galerinha! Se você chegou nesse tópico, você já deve ter resolvido algumas integrais triplas e aqui não será diferente. Só que aqui eu vou te desafiar a resolver uma integral que já adianto que seria bem trabalhosa, caso você fosse resolver pela forma como você ta acostumado. Olha ela aí
Sendo a região limitada pelos planos , , , .
Como eu estou aqui te ajudar, já adianto o que vamos fazer nesse tópico: A gente vai usar a mudança de variável. Vamos sempre usar essa técnica quando uma expressão se repetir muito no integrando ou no domínio de integração.
Tá vendo que os termos , e se repetem muito na expressão da região ? Então, vamos fazer
O que a gente acabou de fazer foi propor a mudança de variável em termos de .
Qual é o próximo passo? Devemos calcular o jacobiano! Que é esse carinha aqui
Galera, sempre que a gente fizer uma mudança de variável, vamos ter que calcular o jacobiano, ok!
Po, mas eu não tenho em função de . Eu tenho exatamente o contrário. O que eu faço então? A gente “inverter” essas derivadas. Isso mesmo, escrever cada derivada parcial trocando o que ta em cima pelo de baixo. Olha como fica e compara as duas.
Aqui no nosso caso vamos ter
O que fazemos agora é usar essa formulinha
Ou seja, no nosso caso
Uma observação importante é que o jacobiano deve ser sempre diferente de zero. Caso dê zero, você deve mudar a substituição!
Agora precisamos mudar os limites da região
Isso define uma nova região , no espaço
Uhul, agora podemos montar a integral nas novas variáveis !
Assim,
Resolvendo essa integral como estamos acostumados, vamos ter
Em resumo os passos são os seguintes: propomos a mudança, mudamos o domínio de integração e calculamos a integral em termos de .
Resolvendo mais um exemplo
Agora vamos resolver essa integral para fixar bem:
Sendo a região limitada pelos planos:
Passo 1: Propor a mudança de variável
Passo 2: Calcular o Jacobiano
Passo 3: Mudar o limite por região
Isso define uma nova região , no espaço:
Passo 4: Montar e resolver a integral
Resolvendo essa integral como estamos acostumados, vamos ter
Agora é a hora de praticar mais nos exercícios!