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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 21

  1. Calcule ∭ E d V , onde E é o sólido limitado pelo elipsoide

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Utilize a transformação x = a u , y = b v , z = c w .

b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com a = b = 6378   k m e c = 6356 k m . Use o item (a) para estimar o volume da Terra.

c) Se o sólido do item (a) tiver densidade constante k, encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z.

Passo 1

Vamos lá galera, vamos observar a equação dada e esboçar esse corpo para ajudar com a visualização do problema.

Olhando para equação dada

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Sabemos que ela representa um elipsoide, visto em nossas aulas de geometria analítica, na qual os tamanhos máximos em cada eixo são a , b , e c respectivamente em x , y ,   z .

Vamos relembrar o que é o elipsoide? Veja:

Passo 2

  1. Vamos calcular o volume do elipsoide utilizando a transformação proposta x = a u , y = b v , z = c w , de forma que teremos um espaço u , v , w que transformará essa figura em uma esfera. Agora, só nos resta identificar os limites de integração e realizar os cálculos. Veja:

    2. ( a u ) 2 a 2 + ( b v ) 2 b 2 + ( c w ) 2 c 2 = 1

    Isso nos leva à:

    u 2 + v 2 + w 2 = 1

    Pela definição da elipsoide os tamanhos máximos de cada eixo são a , b e c . Ou seja, esses são os limites de integração do elipsoide.

    S = { u , v , w ∈ R 3 | 0 ≤ u ≤ a , 0 ≤ v ≤ b , 0 ≤ w ≤ c }

    Outro ponto que devemos lembrar que pela transformação, nossa integral se transforma da seguinte forma:

    ∭ V d x d y d z = ∭ S J ⋅ d u d v d w

    Onde J é o jacobino.

    J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u , v , w ) = d e t a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

    Logo temos que

    V = ∭ a b c ⋅ d u d v d w = a b c   ∭ d V = 4 3 π a b c

    Passo 3

  2. Vamos estimar o volume da terra utilizando os valores propostos no exercício para a , b e c .

    3. a = b = 6378   k m   ;   c = 6356 k m

    Vamos substituir na resposta da questão a e fazer o cálculo.

    Seja a = 6378   k m = b e c =   6356   k m

    V ≈ 3,44 π × 10 11   k m 3

    Passo 4

  3. A letra c nos pode para calcular o momento de inércia. Vamos recordar como isso é feito?

O momento de inércia é dado por

I = ∫ r 2 d m = ∫ r 2 k   d V

Visto que

k = d m d V

Usando uma nova transformação em coordenadas esféricas, fazemos

u = r cos ⁡ θ s i n ⁡ ( ϕ )

v = r sin ⁡ θ s i n ⁡ ( ϕ )

w = r   c o s ⁡ ( ϕ )

Na qual o jacobino é dado por J = r 2 s i n ⁡ ( ϕ )

Assim ficamos com

I = 4 π k ∫ r 4 d r = 4 π k r 5 5

4 5   π M V

Resposta

  1. V = 4 3 π a b c

  2. V ≈ 3,44 π × 10 11   k m 3

  3. 4 5   π M V
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