Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.10 - Ex. 21
- Calcule , onde é o sólido limitado pelo elipsoide
Utilize a transformação , , .
b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com e . Use o item (a) para estimar o volume da Terra.
c) Se o sólido do item (a) tiver densidade constante k, encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z.
Passo 1
Vamos lá galera, vamos observar a equação dada e esboçar esse corpo para ajudar com a visualização do problema.
Olhando para equação dada
Sabemos que ela representa um elipsoide, visto em nossas aulas de geometria analítica, na qual os tamanhos máximos em cada eixo são , , e respectivamente em .
Vamos relembrar o que é o elipsoide? Veja:
Passo 2
- Vamos calcular o volume do elipsoide utilizando a transformação proposta , , , de forma que teremos um espaço que transformará essa figura em uma esfera. Agora, só nos resta identificar os limites de integração e realizar os cálculos. Veja:
- Vamos estimar o volume da terra utilizando os valores propostos no exercício para e .
- A letra nos pode para calcular o momento de inércia. Vamos recordar como isso é feito?
Isso nos leva à:
Pela definição da elipsoide os tamanhos máximos de cada eixo são e . Ou seja, esses são os limites de integração do elipsoide.
Outro ponto que devemos lembrar que pela transformação, nossa integral se transforma da seguinte forma:
Onde é o jacobino.
Logo temos que
Passo 3
Vamos substituir na resposta da questão e fazer o cálculo.
Seja = e
Passo 4
O momento de inércia é dado por
Visto que
Usando uma nova transformação em coordenadas esféricas, fazemos
Na qual o jacobino é dado por
Assim ficamos com