Soma de Riemann
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Opaa! Bora bater um papinho sobre a Soma de Riemann?!
O que são as Somas de Riemann?
A soma de Riemann é uma aproximação da área sob uma curva dividindo-a em infinitas formas simples, como retângulos. Assim:

-Beleza, mas quando que eu vou usar isso?! 😖
Por exemplo, se você quiser calcular a área

É ai que entra a Soma de Riemann!
A gente divide a área sob uma curva em infinito retângulos, porque é uma das formas mais simples pra a gente calcular! A fórmula da área do retângulo a gente tem na ponta da língua! 😉

Agora, como achar o valor da área sob a curva a partir da Soma de Riemann?
Reparou que na figura acima “sobra” um espacinho entre a curva e os retângulos? Mas e se a gente desenhasse um monte de retângulos?

A aproximação da área fica mais fiel, certo?! Seguindo essa lógica, de uma forma geral podemos escrever:
Onde,
Como Calcular a Integral pela Soma de Riemann
Agora como podemos calcular o

Repara que na primeira imagem acima desenhamos os retângulos com o lado esquerdo tocando a curva, nesse caso estamos subestimando a área sobre a curva, ou seja o valor aproximado que vamos achar vai ser menor que a área real.
Já na segunda imagem temos a situação contrária, fazendo a Soma de Riemann pela direita estamos superestimando a área, logo aproximação vai ser maior que a área real.
Nesse exemplo temos a função
Soma de Riemann pela Esquerda
Bora então achar o

Na figura acima, dividimos a área em 4 retângulos que vão de
Para achar o
Conhecemos o
Repara que altura do retângulo é limitada pela função
A figura abaixo deixa isso mais claro pra a gente:

Então a nossa Soma de Riemann vai ser:
Substituindo:
Reparou que o
Beleza, mas na prática queremos que o número de retângulos tenda ao infinito, então como faríamos essa conta para um número muito grande de retângulos?
Vamos então escrever todo esse cálculo para um caso geral:

A fórmula da base ficará:
Onde
Já a altura será dada pela função no ponto
Para o segundo retângulo:
para um terceiro retângulo:
Repara que temos um padrão, então de uma forma geral ficamos com:
Onde,
Iniciando com
Agora que definimos quem é
Bem mais elegante, não?!
Soma de Riemann pela Direita
E como fica a Soma de Riemann pela direita?

O raciocínio é semelhante, mas o que vai mudar é o
Nesse caso o
Qual das somas escolher?
Lembrando que aqui estamos falando de uma aproximação! Então precisamos prestar atenção em um detalhe importante! Uma das somas vai ter valor maior que a Integral tradicional, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não.
Para uma função crescente:
Para uma função decrescente:
Exemplo: Como Integral pela Soma de Riemann
Achamos
Pois é, precisamos achar a Integral pela Soma de Riemann! Vamos então fazer um exemplo:
Dada o seguinte limite da soma de Riemann
Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo
A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o
A soma de Riemann é:
Logo:
Substituindo os valores:
Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é
Podemos dizer que:
Substituindo:
E pronto, temos a nossa função
A integral fica:
E é isso!
Passo a Passo para Achar a Integral pela Soma de Riemann:
Agora pra acabar, vamos para um passo a passo!
Passo 1 – Achar
Passo 2 – Fazer
Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral
Passo 4 – Resolver a Integral
Prontinho! Agora podemos fazer os exercícios e achar a Integral pela Soma de Riemann!!!