Teoria

Opaa! Bora bater um papinho sobre a Soma de Riemann?!

O que são as Somas de Riemann?

A soma de Riemann é uma aproximação da área sob uma curva dividindo-a em infinitas formas simples, como retângulos. Assim:

Gráfico com curva sombreada dividida em muitos retângulos.
Gráfico com curva sombreada dividida em muitos retângulos.

-Beleza, mas quando que eu vou usar isso?! 😖

Por exemplo, se você quiser calcular a área sob a curva da figura abaixo, poderíamos integrar usando a Antiderivação, afinal sabemos que , mas e quando não conhecemos a função ??

Gráfico de f(x)=x^2 com área A sombreada.
Gráfico de f(x)=x^2 com área A sombreada.

É ai que entra a Soma de Riemann!

A gente divide a área sob uma curva em infinito retângulos, porque é uma das formas mais simples pra a gente calcular! A fórmula da área do retângulo a gente tem na ponta da língua! 😉

Dois gráficos de f(x)=x^2 com área A sombreada. No segundo a área A é dividida em retângulos.
Dois gráficos de f(x)=x^2 com área A sombreada. No segundo a área A é dividida em retângulos.

Agora, como achar o valor da área sob a curva a partir da Soma de Riemann?

Reparou que na figura acima “sobra” um espacinho entre a curva e os retângulos? Mas e se a gente desenhasse um monte de retângulos?

Gráfico com curva sombreada dividida em muitos retângulos.
Gráfico com curva sombreada dividida em muitos retângulos.

A aproximação da área fica mais fiel, certo?! Seguindo essa lógica, de uma forma geral podemos escrever:

Onde, é a soma de Riemann para esses infinitos retângulos. Ou seja, ao invés de integrarmos a função da curva, integramos os infinitos retângulos!

Como Calcular a Integral pela Soma de Riemann

Agora como podemos calcular o e assim obter a área aproximada?

Gráficos com curvas divididas em retângulos. Soma de Riemann pela esquerda e pela direita
Gráficos com curvas divididas em retângulos. Soma de Riemann pela esquerda e pela direita

Repara que na primeira imagem acima desenhamos os retângulos com o lado esquerdo tocando a curva, nesse caso estamos subestimando a área sobre a curva, ou seja o valor aproximado que vamos achar vai ser menor que a área real.

Já na segunda imagem temos a situação contrária, fazendo a Soma de Riemann pela direita estamos superestimando a área, logo aproximação vai ser maior que a área real.

Nesse exemplo temos a função e a área sombreada esta entre e e vamos aprender a calcular a Soma de Riemann pela esquerda e pela direita.

Soma de Riemann pela Esquerda

Bora então achar o  pela Esquerda!?

Soma de Riemann pela esquerda.
Soma de Riemann pela esquerda.

Na figura acima, dividimos a área em 4 retângulos que vão de até no eixo O tamanho da base de cada retângulo irá variar de acordo com quantidade de retângulos dentro desse espaço. Deste modo, vamos usar o para representar a base desses retângulos.

Para achar o podemos fazer o seguinte cálculo:

Conhecemos o e agora para calcular a área, precisamos achar a altura, certo?

Repara que altura do retângulo é limitada pela função naquele ponto. A altura do primeiro é , a altura do segundo é , a do terceiro é e do quarto é .

A figura abaixo deixa isso mais claro pra a gente:

Área sobre a curva com retângulos divididos.
Área sobre a curva com retângulos divididos.

Então a nossa Soma de Riemann vai ser:

Substituindo:

Reparou que o apareceu em todos os termos? Beleza, segura essa informação!

Beleza, mas na prática queremos que o número de retângulos tenda ao infinito, então como faríamos essa conta para um número muito grande de retângulos?

Vamos então escrever todo esse cálculo para um caso geral:

Área sobre a curva dividida em dois retângulos.
Área sobre a curva dividida em dois retângulos.

A fórmula da base ficará:

Onde é o limite de integração superior; e é o limite de integração inferior.

Já a altura será dada pela função no ponto . Então temos que a área do primeiro retângulo ficará:

Para o segundo retângulo:

para um terceiro retângulo:

Repara que temos um padrão, então de uma forma geral ficamos com:

Onde, pode ser dado por:

Iniciando com e indo até .

Agora que definimos quem é , podemos escrever a Soma de Riemann de uma forma mais agradável, usando o somatório!

Bem mais elegante, não?!

Soma de Riemann pela Direita

E como fica a Soma de Riemann pela direita?

Soma de Riemann pela direita.
Soma de Riemann pela direita.

O raciocínio é semelhante, mas o que vai mudar é o . Então a fórmula ficará:

Nesse caso o vai de até . Escrevendo o em forma de somatório, fica:

Qual das somas escolher?

Lembrando que aqui estamos falando de uma aproximação! Então precisamos prestar atenção em um detalhe importante! Uma das somas vai ter valor maior que a Integral tradicional, enquanto a outra vai ter valor menor. Para sabermos isso temos que prestar atenção se a função é crescente ou não.

Para uma função crescente:

Para uma função decrescente:

Exemplo: Como Integral pela Soma de Riemann

Achamos , mas lembra dessa fórmula lá do início do tópico?

Pois é, precisamos achar a Integral pela Soma de Riemann! Vamos então fazer um exemplo:

Dada o seguinte limite da soma de Riemann

Transforme na integral equivalente e calcule o valor da integral no intervalo .
A primeira coisa é entender bem essa soma de Riemann. Ele deu o intervalo de integração, logo ele deu o e o . Então podemos achar .

A soma de Riemann é:

Logo:

Substituindo os valores:

Aqui temos que procurar relações para achar o que falta para a integral, nesse exemplo é , mas podia ser o intervalo de integração também. Temos:

Podemos dizer que:

Substituindo:

E pronto, temos a nossa função :

A integral fica:

E é isso!

Passo a Passo para Achar a Integral pela Soma de Riemann:

Agora pra acabar, vamos para um passo a passo!

Passo 1 – Achar   em função de e ;

Passo 2 – Fazer  igual ao valor dentro do somatório, substituindo e ;

Passo 3 – Procurar relações para encontrar os valores que faltam para a integral

Passo 4 – Resolver a Integral

Prontinho! Agora podemos fazer os exercícios e achar a Integral pela Soma de Riemann!!!

Como Calcular a Integral pela Soma de Riemann

Exemplo: Como Integral pela Soma de Riemann

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