Integrais e Problema de Valor Inicial
Teoria
O que são Problemas de Valor Inicial?
Um problema de valor inicial está quase sempre na forma:
E pede a expressão de . Ou seja, temos:
- A expressão para derivada.
- O valor da função num ponto.
E queremos a expressão da função.
Resolvendo um problema de valor inicial
Vamos resolver o problema de valor inicial, ou PVI, para os íntimos, que vimos agora a pouco:
Queremos , e temos sua derivada:
Pra achar , temos que fazer a operação inversa da derivação, ou seja, integrar!
Primeiramente, vamos deixar cada infinitesimal num lado da equação:
Agora, aplicamos a integral em cada lado:
Vamos ver cada integral separadamente. A da esquerda vai dar:
Nada de esquecer a constante hein!!
E a integral da direita é:
Substituindo:
Isolando :
Para ficar mais elegante, podemos chamar de :
Veja que já temos uma expressão geral para . Para chegar no resultado final, usamos a segunda informação do problema: o valor inicial:
Nesse ponto, temos:
Substituindo, ficamos com:
Ou seja, o valor de num ponto serve justamente para identificar o valor constante para a expressão encontrada que satisfaça as condições do problema.
Legal? Vamos para os exercícios para fixar bem isso!
Resolvendo um problema de valor inicial
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Universidade Federal Fluminense – Cálculo IIA – Lista GMA 2 – Exercício 26
Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Temos e queremos . Para chegar lá, colocamos cada infinitesimal num lado da primeira equação:
Passo 2
Agora, aplicamos a integral nos dois lados:
Para a integral à esquerda, temos:
Para a integral à direita, podemos fazer a substituição:
Ficando com:
Resultando em:
Voltando a :
Passo 3
Agora substituímos o que encontramos na equação:
Isolamos e escrevemos as constantes como :
Passo 4
Para achar o valor de para o PVI, usamos a segunda informação do problema:
Assim, a solução será:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Universidade Federal Fluminense – Cálculo IIA – Lista GMA 2 – Exercício 29
Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Podemos escrever como:
Levando a:
Primeiramente, vamos isolar cada infinitesimal:
Passo 2
Como queremos e temos , vamos integrar dos dois lados:
A integral da esquerda fica:
Para a integral da direita, podemos escrever:
Ficando com:
Para a primeira integral, fazemos a substituição , levando a e:
Para a segunda, fazemos a substituição , levando a e:
Logo:
Passo 3
Agora, substituímos tudo na equação:
Isolando e considerando :
Passo 4
Para achar , usamos a segunda informação do problema:
Substituindo:
Com isso, substituímos o valor de para finalizar o problema:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Um tanque com água está enchendo a uma taxa de:
Em litros/minuto. Determine a expressão do volume de água no tanque se litros.
Passo 1
Veja que temos aqui uma derivada, também o valor da função correspondente num ponto e queremos a função num ponto.
Apesar de não aparecer tudo bonitinho dentro de uma chave, este problema tem todas as características é um PVI. Também pode ser escrito como os problemas que vimos anteriormente:
Então vamos lá. Primeiro, separamos os infinitesimais:
Passo 2
Agora, aplicamos a integral dos dois lados:
A integral da esquerda é:
A integral da direita será:
Como e, consequentemente,
Passo 3
Substituindo na equação:
Isolando e considerando
Passo 4
Vamos descobrir um valor de que garante solução para o problema. Usando a segunda informação:
Assim, substituindo, temos:
Em litros.
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Em um tanque CSTR, uma reação de segunda ordem ocorre segundo a lei
Sendo e substratos dessa reação. Sabe-se que é uma constante de reação e que se relacionam com a conversão de da seguinte forma:
Onde é a concentração inicial de e é a conversão de . Ache uma expressão para sabendo que
Passo 1
Pode atéééé não parecer, mas essa questão da tudo que a gente precisa. E não, não precisamos entender sobre química pra resolver essa questão.
Vamos reescrever o enunciado da forma que a gente consiga achar . Como:
E ainda:
Reescrevemos:
Passando o pro lado direito e tudo que tem pro lado esquerdo:
Passo 2
Agora, aplicamos a integral dos dois lados:
A integral da esquerda é:
A integral da direita será:
Passo 3
Substituindo na equação:
Isolando e considerando
Passo 4
Vamos descobrir um valor de que garante solução para o problema. Usando a segunda informação:
Então:
Assim, substituindo, temos:
Passo 5
Nesse último passo a gente vai só reorganizar a função pra achar o famoso . Sendo:
Se elevarmos os dois lados à :
Multiplicando os dois lados por
E somando os dois lados a , fechamos com:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Resolva o problema:
Passo 1
A primeira coisa a fazer nessa questão é desembolar esse enunciado porque tem e do mesmo lado da equação. Passando então o pra esquerda, ficamos com:
Ok, isso ainda não está pronto, porque não sabemos quem é . Mas bem, isso não é problema pra gente, se lembrarmos que:
E logo, ficamos com:
Passando o pro lado direito:
Mamão com açúcar, agora é só integrar dos dois lados
Passo 2
Agora, aplicamos a integral dos dois lados:
A integral da esquerda é:
A integral da direita a gente vai ter que tirar usando integração por partes:
Seja:
Então:
E logo:
Passo 3
Substituindo na equação:
Considerando
Passo 4
Vamos descobrir um valor de que garante solução para o problema. Usando a segunda informação:
Sendo assim, temos:
Passo 5
Agora que sabemos o valor de , a gente substitui e fica com:
Isolando o , ficamos com:
E como, pela definição de módulo:
Então:
Por fim:
Passo 6
Nesse passo vamos só perceber umas coisas extras. E se a condição fosse:
Se fosse essa, encontraríamos o mesmo valor de :
Ou seja, existem de fato duas funções distintas, com o mesmo valor de , que satisfazem:
No entanto, como nosso valor inicial dado é:
Não faria muito sentidoa expressão
Ser uma resposta válida, não é? Pois nesse caso, .
Sendo assim, ficamos com: