(a) Estime a área sob o gráfico de f x = cos ⁡ x   de x = 0 até x = π 2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce o gráfico e os retângulos. Sua estimativa é uma subestimativa ou uma superestimativa?

(b) Repita a parte (a) usando extremidades esquerdas.

Passo 1

Nessa questão temos que encontrar a área abaixo da função

f x = cos ⁡ x

Indo de x = 0 até x = π / 2 .

E para isso vamos utilizar retângulo e calcular a área desses retângulos.

Vamos usar que a área de um retângulo é dada como:

A = b × h

Onde a base vai ser a variação em x de cada retângulo e a altura h será o valor da função calculada no valor de x da extremidade direita do retângulo (para a letra a)) e da extremidade esquerda do retângulo (para a letra b)).

Passo 2

O esboço do gráfico é o seguinte:

Estimando a área:

R 4 = ∑ i = 1 4 f x i ∆ x

∆ x = π 2 - 0 4 - 0 = π 8

R 4 = π 8 f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4

R 4 = π 8 [ cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 2 π 8 + cos ⁡ 3 π 8 + cos ⁡ 4 π 8 ]  

R 4 ≈ π 8 0,9239 + 0,7071 + 0,3827 + 0

R 4 ≈ 0.7908

Como f está decrescendo em 0 , π 2 , é obtida uma subestimação usando as aproximações extremas à direita R 4 .

Você pode ver isso ao verificar que as áreas dos retângulos quando somadas é menor que a área total abaixo da curva.

Passo 3

Para a letra b), teremos o esboço do gráfico a seguir:

Estimando a área:

L 4 = ∑ i = 1 4 f x i - 1 ∆ x

∆ x = π 2 - 0 4 - 0 = π 8

L 4 = π 8 f x 0 + f x 1 + f x 2 + f x 3

L 4 = π 8 [ cos ⁡ 0 + cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 2 π 8 + cos ⁡ 3 π 8 ]  

L 4 ≈ π 8 1 + 0,9239 + 0,7071 + 0,3827

L 4 ≈ 1.1835

L 4 é uma superestimação.

Resposta

Para a letra a)

R 4 ≈ 0.7908

Subestimativa

Para a letra b)

L 4 ≈ 1.1835

Superestimativa

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