Número Conjugado

Quando eu jogo o no nosso amado limite, ele dá ruim:

Vamos tentar o seguinte, completar o produto notável conjugado em cima, deve facilitar alguma coisa:

Rapaz, confere aqui se isso que eu vou dizer procede:

Isso é válido, né? E se eu cortar oem cima e embaixo (lembra que esse era o termo que dava zero quando eu substituía)?

Vamos ver se melhora:

Olha agora que beleza, substituindo não vai zerar no denominador. Pronto, agora é jogar o, tomar um Toddynho e ser feliz!

Se tentarmos substituir o valor para o qual tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

Portanto, vamos aplicar o primeiro produto notável sugerido no numerador, que tem raízes cúbicas. Faremos e :

Ou seja, devemos multiplicar em cima e embaixo o conjugado para gerar em cima.

Agora, para o segundo produto notável, trabalhando quadrados, aplicamos no caso do denominador do limite, que tem raiz quadrada:

Para o denominador, fazemos e :

Devemos, portanto, multiplicar em cima e embaixo por , visando obter no denominador.

Substituindo na expressão:

Essa questão se destaca um pouco das outras desse capítulo por pedir que a gente faça uma análise lateral do limite também.

Nela, tudo que temos que fazer é completar o conjugado num termo e analisar o limite lateral do conjunto, quando tiverem o mesmo denominador.

Enfim, um passo de cada vez, começamos substituindo o limite:

Não sabemos se vão para ou enquanto não fizermos a análise lateral.

Vou começar completando o quadrado ali do primeiro quociente, para que eles tenham quocientes iguais. Repara que tenho uma diferença de raízes quadradas e depois uma diferença dos quadrados dessas raízes . Me faz lembrar essa propriedade:

O primeiro cara sai de primeira

Analisamos lateralmente o segundo, que gera ao substituir o limite. Como é maior que para , vemos que se aproximamos o limite para trabalharemos com valores positivos e, portanto, o limite explodirá para :

Logo,

Olha, se substituirmos esse limite caímos numa indeterminação, ou seja, não temos sabermos para onde o limite vai:

Agora precisamos determinar esse limite!

Agora devemos pensar numa maneira de resolver algebricamente. Uma boa ideia seria eliminar as raízes que estão em subtração. Como o limite envolve raízes quadradas, podemos usar o seguinte produto notável, envolvendo quadrados:

Com e .

Assim, fica multiplicado em cima e embaixo o termo :

Agora vamos resolver esse limite!

Repara que temos um polinômio em cima e um embaixo. Como o , podemos resolver o limite analisando o grau de cada polinômio. Para isso, vamos olhar o maior grau em cima e embaixo e colocar em evidência. Reescrevendo ficamos assim,

Fica atento quando você tirar um de dentro de uma raiz (de baixo), não vai ficar , vai ficar , isso vem da própria definição de raiz quadrada.

O módulo de pode ser aberto por:

Como ele quer , vamos ter

E nosso limite vai ficar

Se tentarmos substituir o valor para o qual tende, veremos que chegamos a uma indeterminação:

Puts, então vamos precisar manipular essa função ai pra podermos sair com a indeterminação.

Uma primeira coisa que a gente pode tentar fazer é multiplicar pelo conjugado, beleza? Dessa forma a gente some com aquela raíz e o resultado pode acabar nos ajudando. Então partiu ver no que que dá:

Se substituirmos, ainda temos indeterminação:

Ou seja, não paramos por aqui ainda, ainda vamos ter que manipular um pouquinho

Toda vez que virmos uma diferença com um a gente se pergunta: será que algum produto notável me ajuda? Nesse caso, a resposta é sim! Saca só o seguinte produto notável

Faremos e :

Aí substituímos:

E cortamos:

Se fizermos o limite agora, não vamos ter mais indeterminações! Dá uma olhada: