Limites Laterais

Assim como qualquer resolução de limites, a boa é começar substituindo o na função do limite, para termos uma ideia do que acontece. Ficaria algo assim:

As aspas indicam que a operação não é formalmente válida. Estamos indicando que, quando o denominador se aproxima de zero, a fração tende para o infinito.

Agora, o detalhe é que estamos calculando limites laterais, então falta analisar o comportamento pelos lados do . Repara que ali eu coloquei por que ainda não sei se ao aproximar do eu venho por um número levemente maior ou levemente menor.

Isso faz com que resulte em algo um pouquinho maior ou um pouquinho menor que , respectivamente (ou seja, um é positivo e outro negativo).

Faz o seguinte, chuta um número abaixo e outro acima de . Olha o que acontece com e , por exemplo:

Sacou? Assim, o que acontece é que pelo lado do 5 (atrás do 6) a função se aproxima negativamente e pelo lado do (na frente do 6) se aproxima positivamente.

Ainda não acredita? Desenhei aqui o gráfico para os incrédulos:

Vamos, antes de tudo, lembrar o que é . A secante é basicamente dada por:

Dessa forma, substituindo o na equação, ficaria assim:

A gente já tem noção que isso vai dar . Resta saber como estamos nos aproximando de .

Pensando nessa análise do sinal, você percebe que a aproximação é feita por trás, ou seja, para valores menores que . Vamos dar uma olhada no círculo trigonométrico para matar a charada.

Bom, podemos ver que, quando x está vindo por trás de (lembrando que ), temos cosseno negativo. Dessa forma, podemos dizer que a aproximação se dará para . Portanto,

Primeiro, vamos escrever como fica a definição de :

Agora calculamos os seguintes limites laterais, que ele pediu.

Só fica ligado numa coisa: quando , ou seja, , usaremos a primeira expressão para . Quando , ou seja, , usaremos a segunda expressão para

No primeiro limite, vou substituí-lo:

Da mesma forma que o primeiro, vou começar substituindo esse segundo limite lateral também:

Vamos começar no primeiro limite. Nesse caso, vou trazer o círculo trigonométrico para pensarmos sobre o sinal desse “infinito”, se é positivo ou negativo:

Repara que, para valores logo acima de (valores um pouquinho maiores que ), o seno é positivo. Com isso:

Portanto,

Olhando para o mesmo desenho de antes, vamos reparar que o seno é negativo para valores logo antes de (valores pouco menores que ). Logo,

Portanto,

Vamos lembrar um pouco da teoria. Dizemos que um limite tem um certo valor , se

Então, o que teremos que fazer aqui é verificar os limites laterais em cada ponto.

Vamos começar com o ponto . Vemos pelo gráfico que:

Assim,

Vamos repetir para . Mas a função não está definida ali!! Isso não importa, o limite só está interessado na tendência da função e não no valor no ponto. Então, pelo gráfico

Assim,

Vamos repetir para . Aqui vamos analisar o gráfico com cuidado, porque

Pela definição que mostrei lá no passo 1, vemos que os laterais não batem. Então, o limite não existe.

Não existe

Vamos para o ponto . Vemos pelo gráfico que:

Assim,

Por último (ufa!), o ponto . Vemos pelo gráfico que:

Assim,

Beleza, vamos analisar a função. São 3 intervalos de função. Vamos fazer o seguinte, primeiro desenhar esse negócio aí. Temos a função de primeiro grau quando então o gráfico antes de igual a vai ser essa reta.

Na parte onde está entre e ele vai ser a reta . E quando vamos ter a parte da parábola . O gráfico vai ficar então:

Então, já que a estrutura está montada, vamos olhar no gráfico os pontos onde

existe, ou seja, onde vale:

Cara, conseguimos ver que esses limites existirão para todosem que a função não muda sua lei de formação.

Resumindo, para que o limite lateral seja igual, os pontos teriam que seguir o mesmo padrão dos dois lados ou ter o limite entre os pontos onde trocam-se os regimes de função dando a mesma coisa.

A princípio, todos os pontos fora e terão limites laterais iguais. Resta saber se esses dois pontos têm limites laterais iguais.

Pelo desenho, vemos que:

Logo, vemos que os pontos enão têm um limite, já que seus limites laterais são diferentes.

Vamos analisar primeiro a função de dentro. Abrindo o módulo ficaria assim:

Vamos dividir tudo por agora:

Como queremos o valor em e a função muda sua lei nesse ponto, devemos analisar os limites laterais. Se forem iguais teremos um resultado. Caso não, saberemos que o limite não existe:

Os limites não batem. Concluímos que

Bom, vamos primeiro escrever as leis das funções. Vamos começar por

A função é claramente uma função afim com equação:

Já que:

Já a função é uma função modular bem simples, descrita por:

Vamos calcular primeiro os limites laterais de por serem mais tranquilos:

Beleza, como você pode ver, eles são iguais.

A função vai gerar limites laterais diferentes:

E:

Show de bola?

Agora o vamos calcular os limites laterais de usando essas informações:

Usamos ali a propriedade do limite de um produto. Agora é só a gente pegar os valores que calculamos:

E agora:

De novo:

Show? Então, como os limites laterais são diferentes, o limite:

Não existe.

Precisamos lembrar que:

Beleza? Vamos usar os valores dos limites laterais do item anterior pra facilitar nossa vida.

Primeiro:

Já que:

Da mesma forma:

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que:

Não existe.