Quociente de Funções com x → Infinito
Teoria
Responde aí, como resolve esse limite?
Você pode pensar que:
Bom, você NÃO pode fazer isso. Não é porque as duas tendem ao infinito que elas crescem igualmente. , por exemplo, cresce bem menos que , substitua uns valores e veja que é verdade.
Calculando os limites
Assim, a dica para essas questões é verificar o maior grau do denominador no denominador e o maior do numerador no numerador.
Olhando lá para o limite do exemplo, vemos que grau de cima é e o de baixo é . Devemos, portanto, colocar em evidência o em cima, no numerador, e o embaixo, no denominador, já que eles são os maiores graus.
Nós sabemos que o número 1 dividido por um número muito grande tende a 0. Com isso, podemos considerar que todas aquelas divisões de 1 por alguma potência de também tenderão a 0 (já que ), logo:
Agora basta realizarmos a divisão e teremos:
Quando há raiz
Quando temos raiz, vamos deixar os termos de maior grau em evidência e tirar o que podemos da raiz:
Como temos uma raiz par, o termo sai com um módulo. Muita atenção aqui, pois isso pode mudar o sinal do limite! Veja que está indo para menos infinito, um número negativo, logo :
Dica importantíssima:
Em questões desse tipo é bom se guiar em quem tem o maior grau, comparando numerador e denominador; se o grau de cima for maior a função irá para , se for o mesmo vai para uma constante, se o de baixo for maior vai a zero.
Quociente de Funções Exponenciais
Cara, como vamos resolver esse aqui
Então, a gente vai ter algo parecido com !
Qual foi a boa que eu te ensinei? Colocar o termo de maior grau em evidência em cima e embaixo né? Aqui é parecido, mas não é o expoente que você vai olhar afinal é tudo . Você vai olhar para a base de cada função!
No numerador a maior base é e no denominador é , então vamos colocar esses caras em evidência desse jeito:
Juntamos o termo em evidência de cima com o de baixo!
Zeramos as exponenciais de base menor que 1:
É isso pessoal! Vamos para os exercícios.
Calculando os limites
Quando há raiz
Quociente de Funções Exponenciais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Determine o limite abaixo
Passo 1
Substituindo, temos uma indeterminação:
Vamos resolvê-las separadamente.
Passo 2
Para a primeira fração, o maior grau de cima é e de baixo é . Colocando-os em evidência fica assim:
Então, os termos com no denominador zeram. Com no numerador, explodem para infinito. Dessa maneira, ficamos assim:
Vemos, portanto, que este cara explode para ,
Passo 3
Para o outro quociente, o maior grau é , tanto no numerador quanto no denominador. Colocando-os em evidência fica assim:
Então, os termos com no denominador zeram. Dessa maneira, ficamos assim:
Passo 4
O primeiro cara explode para e o outro converge para . Então,
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas, Cálculo Volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 108 - 65
Calcule o limite:
Passo 1
Substituindo, nós caímos em indeterminação:
Passo 2
Para essa fração, o maior grau de cima é e de baixo é . Colocando-os em evidência fica (dica: colocando o termo em evidência em relação a outras potências de basta subtrair o grau que se quer tirar, ou ):
Temos que juntar essa potência de em evidência em cima com a de baixo.
Passo 3
Então, os termos com no denominador zeram. Já esse no numerador explodirá para infinito. Dessa maneira, ficamos assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
CEFET - Cálculo 1 - P1 Roberto Sá 2012.2 - 1_c
Determine ou calcule os limites abaixo:
Passo 1
Se começamos substituindo o valor do limite, encontraremos problema, vai ficar infinito sobre infinito:
Passo 2
A saída melhor para essa situação é, reparando que o de maior grau da função de cima é e o de baixo é , botar a maior potência de de cima e de baixo para fora. Lembrando, que ao tirar em evidência o de uma raiz par (raiz quadrada, quarta, sexta, e assim por diante) temos que coloca-lo em módulo:
Passo 3
Nesse caso, temos , pois trabalhamos com tendendo a um valor positivo. Substituindo isso e que todos os termos com no denominador irão zerar quando , teremos,
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 3.
Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.
Passo 1
Substituímos de início:
Passo 2
Para esse cara, notamos que o maior grau é o mesmo em cima e embaixo, é esse dentro da raiz quadrada, ou seja, grau . Botando em evidência vamos ter:
Passo 3
Termos com potência de no denominador zeram quando aplicamos esse limite, portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Em primeiro lugar, ao substituir vamos ter uma indeterminação Nenhuma novidade até aí:
Passo 2
Bom, repara com a gente, pela progressão do numerador, teríamos ali oito termos com , em que vai de até .
Embaixo, temos um polinômio de grau , já que temos um .
Bom, se por um padrão colocarmos todos os de cima em evidência, quantos seriam?
Um para cada termo multiplicando, ou seja, termos ! Lembrando, embaixo temos .
Passo 3
Rapaz, colocando cada reunido, você concorda que teríamos um para cada termo ? Bom, com isso teríamos vezes ali aparecendo o no numerador!
Zeramos tudo com potência de no denominador. Com isso:
Resposta
Exercício Resolvido #6
PUC-RJ – Cálculo 1 – P1 2015.1 – 3.b1
Determine onde .
Passo 1
Para simplificar o trabalho de calcular podemos primeiramente calcular o valor de e depois calcular
Já que o único termo em função de no limite é o próprio .
Passo 2
Calculando:
Botamos em evidência os graus dos polinômios de cima e de baixo:
Agora é só substituir,
Passo 3
Agora basta calcular o seguinte limite:
E se eu mudar esse aí para ? Olha a cara que vai ficar
Rapaz, o denominador zera e o numerador vai para . Acontece que se observarmos lateralmente perceberemos que, como o denominador tem uma potência quadrada (no caso, ) ele se aproximará por valores positivos pelos dois lados. Multiplicado ao , ele explodirá para . Logo, o limite não existirá, enfim.