Teorema do Confronto

Substituindo esse cara, olha como fica:

Não sei para onde vai esse seno de infinito... Parceiro, não tem o que inventar: É Teorema do Sanduíche e acabou.

Como eu sei que o seno necessariamente está no intervalo , ou seja:

Então eu digo isso:

E se você substituir o nesses dois limites da ponta, veja lá:

Mesmo resultado. Assim, pelo Teorema, chegamos num resultado:

Meu amigo, o limite parece um monstro. Quando você vir um dentro de um cheio de polinômio em volta, certamente vai dar um arrepio na nuca e um calafrio no corpo, por que isso não é coisa de gente sã.

Mas calma, para fugir dessa você só precisa de um pouco de malandragem!

Vamos ver, usando umas propriedades dos limites, podemos chegar aqui:

A criatura tá ficando maior ainda! Espera, vamos analisar para onde iria cada pedaço da função e aí pensar no limite do todo, certo? NÃO! Não precisa analisar mais nada dentro do se eu estiver levando o argumento do seno para o . Esse é total indicador de que devo usar o Teorema do Confronto!

Se todo está sempre entre e , posso dizer que:

Dividindo tudo por :

Analisando ao mesmo tempo os limites de e de , teríamos isso aqui:

Sabendo que se os limites das bordas forem iguais esse limite é o mesmo da função central, eu mato o monstro de 7 cabeças:

Substituindo o limite dá problema:

Com o detalhe de termos senos de infinito, um indício de Teorema do Confronto!

Vou começar da seguinte forma: coloco em evidência em cima e embaixo um , que é o maior grau de polinômio que eu vejo ali. Arranco ele daí, acompanha aqui:

Tranquilo até aí, né?

Repara no seguinte, indo para o infinito nós já temos um termo que desaparece. É o , certo? Beleza, qual é a única coisa com a qual eu devo me preocupar agora? Esse negócio estranho aí de seno sobre :

Você pode não ter reparado ainda, mas esse é o caso mais clássico de Teorema do Confronto! Aliás, na nossa Teoria tem uma explicação detalhada justamente desse limite, e você verá que ele vai para zero, já que temos um crescendo muito e um seno limitado entre e :

Como:

Teremos também que:

Dessa forma, todos os termos com formato de função ali vão desaparecer, já que só temos dois desse limite, duas constantes e um termo com no denominador, que vai zerar quando . Se eu olhar para o que sobra vou matar o limite:

Essa relação que foi dada pode ser escrita como

Vamos começar encontrando

Como

Teremos, pelo teorema do sanduíche,

Pelas propriedades de limite

Como estamos fazendo

Vamos agora calcular

Como, neste caso, o está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar da técnica de colocar a maior potência de em evidência em cima e embaixo, tanto no denominador quanto no numerador:

Pelas propriedades de limite

Com isso,

Vamos agora calcular

Como

As contas vão ser iguais a do limite que calculamos ali em cima, só tendo uma pequena diferença, como estamos fazendo

Vamos ter então

Vamos agora calcular

Como, neste caso, o está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:

Pelas propriedades de limite

Portanto,

Começo substituindo o valor do limite:

Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:

Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:

Corta o de cima com o de baixo:

Conclusão,

Agora a ideia é observar que o está delimitado entre e , como todo cosseno.

Logo,

Porém, como já vimos no primeiro passo,

Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será: